Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.
Один из типов экзаменационных задач В6 в банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:
Высота проведена к гипотенузе . Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника — и . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.
Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна . Значит, , то есть угол равен углу . Аналогично, угол .
Иными словами, каждый из трех углов треугольника равен одному из углов треугольника и треугольника . Треугольники , и называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.
Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?
|
|
Возьмем треугольники и . Стороны треугольника длиннее, чем стороны треугольника , в некоторое число раз:
При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников , и , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.
1. В треугольнике угол равен , — высота, , . Найдите .
Рассмотрим треугольник . В нем известны косинус угла и противолежащий катет . Зная синус угла , мы могли бы найти гипотенузу . Так давайте найдем :
(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:
Рассмотрим прямоугольный треугольник , . Имеем:
Отсюда, поскольку :
и тогда
Ответ: .
2. В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту .
Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник .
Ответ: .
3. В треугольнике угол равен , , . К гипотенузе проведена высота . Найдите .
Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты и .
Зато можно записать теорему Пифагора:
Нам известно также, что
Решая эту систему из двух уравнений, найдем:
Запишем площадь треугольника двумя способами:
и найдем .
Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.