Однорідні диференціальні рівняння першого порядку, їх загальний розв’язок

днорідним диференціальним рівнянням пер-шого порядку називають рівняння, яке можна звести до вигляду

у'' = f(x,l/),де функція f(x,y) не змінюеться при заміні х ma у на tx ma ty, тобто задовольняе умову

f[tx,ty) = f[x,y).

Відмітимо, що функцію fyx,yj яка задовольняє вказану умову,

називають однорідною нульового виміру.

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку шляхом підстановки

_у

U — —

х

можна звести до рівняння з відокремлюваними змінними.

У

■ Приклад 7. Розв’язати рівняння у'

х + у

^ Розв’язання. Це рівняння є однорідним диференціальним рівнянням першого порядку тому, що воно має вигляд (16) та для правої частини рівняння виконується умова:

60.Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Метод Бернулі.

називається однорідним відносно та , якщо для будь-якого справедлива тотожність

.

Приклад 1. Рівняння є однорідним, бо

.

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки Тоді (тут покладено). Змінні відокремлюються, оскільки після підстановки в рівняння дістанемо

,

звідки