Теоретичні відомості

Величину, яка чисельно дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані до центра обертання, називають моментом інерції точки,

. (3.1)

Суму добутків елементарних мас, помножену на квадрат їх відстаней від осі обертання, називають моментом інерції твердого тіла відносно заданої осі,

. (3.2)

Якщо перейти до межі, то вираз (3.2) буде мати вигляд

. (3,2а)

Так, для однорідного тіла dm = ρ dV, де dV – елементарний об'єм; ρ – густина. Тоді вираз (3.2а) буде мати вигляд

.

Енергію тіла, яке рухається, називають кінетичною. Нехай під дією сили f швид­кість тіла масою m зросла від значення v₁ до v₂. Робота цієї сили

.

.

Таким чином, якщо на тіло діє сила f, яка збільшує його швидкість від v₁ до v₂, то робота цієї сили йде на підвищення кінетичної енергії сис­теми. Якщо тіло почало рухатися зі стану спокою (v₁ = 0), то

. (3.3)

Домножимо та поділимо вираз (3.3) на r² і враховуючи, що

,

а – момент інерції точки, одержимо

. (3.4)

Таким чином, кінетичну енергію обертання точки і твердого тіла навколо неру­хомої осі обертання можна виразити формулою (3.4), аналогічною до фор­мули (3.3), тільки роль маси m відіграє момент інерції J, а роль лінійної швидкості v – кутова швидкість ω. Отже, якщо відомі робота, затрачена на приведення тіла до обертання, та кінцева швид­кість обертання, то можна визначити момент інерції тіла довільної форми.