Методические указания
к практическим занятиям по курсу «Молекулярная физика»
Содержание
§1. Таблица необходимых интегралов. 2
§2. Системы координат. 2
Тема 1. Газовые законы.. 7
Тема 2. Уравнение Клапейрона - Менделеева. 7
Тема 3. Вероятность. 8
Тема 4. Статистические распределения. 8
Тема 5. Распределение Максвелла. 9
Тема 6. Применение распределения Максвелла. 10
Тема 7. Распределение Больцмана. 10
Тема 8. Температура. 10
Тема 9. Первое начало термодинамики. 12
Тема 10. Процессы в идеальном газе. 12
Тема 11. Применение первого начала термодинамики. 12
Тема 12. Циклические процессы.. 12
Тема 13. Энтропия. 13
Тема 14. Изменение энтропии в необратимых процессах. 13
Тема 15. Реальные газы.. 13
Тема 16. Эффект Джоуля - Томсона. 14
Тема 17. Фазовые превращения. 14
Тема 18. Критическое состояние вещества. 14
Тема 19. Поверхностное натяжение. 14
Тема 20. Столкновения в газах. 15
Тема 21. Явление переноса в газах. 15
Ответы.. 15
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
Решение задач по физике требует хорошей математической подготовки. В этом разделе даются сведения по математике, которые могут понадобиться при решении задач молекулярной физики.
|
|
Таблица необходимых интегралов
Системы координат
Наиболее важными и часто употребляемыми системами координат являются следующие:
1). На плоскости:
а). Прямоугольная декартова система координат. Начало отсчёта и две взаимно-перпендикулярные оси x и y выбираются произвольно, наиболее рациональным образом для каждой конкретной задачи. Положительные направления осей x и y задаются взаимно-перпендикулярными единичными векторами, соответственно, и ( ), образующими векторный базис системы, одинаковый для всех точек плоскости (рис. 1).
Положение любой точки плоскости, например точки М, задаётся двумя числами, x, и y (x, y Î ). Положение точки более компактно можно задать с помощью радиус-вектора (рис. 1)
(1)
Длина радиус-вектора
(2)
Произвольный вектор записывается в виде
(3)
где сх и су, соответственно, проекции на оси x и y. Длина вектора
(4)
Элемент длины дуги кривой (рис. 1)
(5)
Площадь элементарной площадки (рис. 1)
dS = dx×dy. (6)
б). Полярная система координат (рис. 2). Положение произвольной точки плоскости (точки М) задаётся двумя числами r и j , , где r – расстояние от выбранного начала отсчёта до точки М, j – угол, отсчитываемый против часовой стрелки от произвольного направления до направления на эту точку. Ортонормированный базис и вводится для каждой точки плоскости, т.е. является локальным.
Между декартовыми и полярными координатами точки и базисными векторами существует связь, которую легко найти (рис. 2)
|
|
(7)
(8)
Радиус-вектор точки
. (9)
Произвольный вектор (рис. 3), имеющий начало в точке с координатами r и j записывается в виде
, (10)
а его длина
(11)
Здесь и – проекции вектора на направления, определяемые векторами и (рис. 3).
Элемент длины дуги некоторой кривой (рис. 4)
(12)
Площадь элементарной площадки (рис. 5)
(13)
В частности, площадь кольца радиуса r и толщины dr легко получить из (13), проинтегрировав по j, (рис. 5)
(14)
2). В пространстве:
а). Прямоугольная декартова система координат. Положение любой точки в пространстве (например, точки М, рис. 6) определяется тремя числами x, y, z (x, y, z ). Начало отсчёта и направление осей задаётся произвольно тремя взаимно-перпендикулярными единичными векторами , , ( = = = 0, , , ). Векторы , , образуют векторный базис, одинаковый для всех точек пространства.
Радиус-вектор точки
(15)
его длина
(16)
Произвольный вектор записывается в виде
(17)
где сх, су, сz – проекции на оси x, y, z. Длина вектора
(18)
Бесконечно малое изменение радиус-вектора при бесконечно малом перемещении точки М вдоль некоторой кривой (рис. 6)
(19)
Бесконечно малый элемент dl дуги кривой можно считать отрезком прямой, длина которого равна модулю вектора , соединяющего концы этого элемента:
(20)
Элементарный объём (объём элементарного кубика, рис. 6)
(21)
Площади элементарных площадок, перпендикулярных осям координат, равны площадям dy×dz, dz×dx, dx×dy соответствующих боковых граней элементарного кубика (рис. 6)
б). Цилиндрическая система координат. Положение точки M пространства (рис. 7) определяется тремя числами r, j, z (, , ).
Для каждой точки пространства вводится локальный базис , , (рис. 6), (, , , , ).
Радиус-вектор точки
, (22)
его длина
. (23)
Между декартовыми и цилиндрическими координатами точки и базисными векторами существует связь
(24)
(25)
Длина элемента дуги кривой
(26)
Площадь элементарной площадки цилиндрической поверхности, радиус которой r
(27)
Элементарный цилиндрический объём на расстоянии r от оси z (рис. 7)
(28)
в). Сферическая система координат. Положение точки M пространства определяется тремя числами r, q, j (, , ). Ортонормированный базис , , также является локальным и вводится, как показано на рисунке 8: (, , , , ).
Радиус-вектор точки
(29)
Из рисунка 8 нетрудно найти связь между декартовыми и сферическими координатами точки, а также связь между базисными векторами
(30)
(31)
(32)
Длина элемента дуги кривой
(33)
Площадь элементарной сферической поверхности радиуса r
. (34)
Объём элементарного кубика
. (35)
В частности, объём сферического слоя радиуса r и толщины dr легко находится из (34) путём интегрирования по углам q и j:
. (36)
Кроме углов на плоскости, в математике и физике используются объёмные или телесные углы, которые характеризует угол зрения, под которым из точки (вершины угла) видно тело или некоторая поверхность.
Телесный угол – это часть пространства, ограниченная поверхностью, образованной прямыми линиями, проведенными из одной точки (вершины) ко всем точкам видимой границы тела или поверхности. Телесный угол, под которым из центра сферы радиусом r видна площадь DS её поверхности,
. (37)
В сферической системе координат бесконечно малый телесный угол
. (38)
Интегрируя по углу j в пределах от 0 до 2p, получим выражение для бесконечно малого телесного угла, заключённого между двумя коническими поверхностями с общей вершиной и осью z, углы раствора которых равны q и q + dq (рис. 9).
. (39)
Интегрируя последнее соотношение по q в пределах от 0 до q, получим выражение для конечного телесного угла
. (40)
При q = p получаем полный телесный угол
. (41)
Для описания движения молекул в некоторых случаях удобно использовать математическое пространство скоростей, в котором координаты x, y. z заменяются проекциями скоростей ux, uy, uz, а радиус-вектор – вектором скорости .
|
|