В систему основных уравнений газовой динамики входит уравнение состояния среды. Конкретный вид уравнения состояния определяется либо из опыта, либо находится, в некоторых частных случаях, методами статистической физики. Для твердых и жидких тел разработаны полу эмпирические методы получения уравнений состояния. В основе определения такого уравнения лежат ударные ударные адиабаты твердых и жидких тел.
Уравнение состояния системы может быть задано, например, в форме:
(1.5)
(1.6)
(1.7)
В этих уравнениях в качестве независимых переменных выбраны два параметра: удельный объем и температура Т. Уравнение (1.5) называется термическим уравнением состояния, поскольку с помощью этого уравнения определяется температура. Уравнение (1.6) называется калорическим уравнением состояния. Основное уравнение термодинамики
(1.8)
связываетпять функций состояния: р, Е, 5, Т и v. Если две из них выбрать в качественезависимых переменных, например Т и v, то для определения трех функций, p, Е, S, необходимы три уравнения. Отсюда следует, что уравнения (1.5) — (1.7) cовместнос (1.8) не могут быть независимы. Для нахождения связи между ними запишем дифференциалы S и Е:
(1.9)
(1.10)
Поставим уравнение (1.10) в основное уравнение термодинамики (1.8):
(1.11)
Сравнивания уравнения (1.9) и (1.10) получим:
(1.12)
Дифференцированием этих уравнений можно исключить S:
(1.13)
Уравнения (1.12) показывают, что если известны уравнения состояния (1.5) и (1.6), то можно определить уравнение (1.7) с точностью до произвольной постоянной. При этом уравнения (1.5) и (1.6) связаны между собой дифференциальным соотношением (1.12). Если известно только уравнение (1.5), то с помощью уравнения (1.13) можно получить Е с точностью до произвольной функции Т.
Среди пяти термодинамических функций, р, , T, Е, S, можно выбрать любые две в качестве независимых переменных.
если в качестве независимых переменных принять удельный объем v и энтропию S, то, используя уравнение (1.8) и дифференциал для Е = Е (,S), получим
(1.14)
Исключая из этих уравнений Е с помощью дифференцирования, получим
(1.15)
если уравнения состояния имеют вид
то, на основании термодинамического уравнения (1.8), существуют следующие уравнения, которые связывают Е, S и Т:
(1.16)
Исключая отсюда Т, получим
(1.17)
Если известно уравнение состояния , то можно получить уравнение состояния с точностью до произвольной функции энтропии S. Исключая из (1.16) Е, получим
(1.18)
При известном уравнении состояния из этого уравнения можно получить уравнение состояния с точностью до произвольной функции энтропии S.
Если уравнение состояния известно в виде ,то можно определить уравнение состояния
(1.19)
Для этого, считая, что , запишем выражение
Используя (1.8) и (1.13), а также учитывая, что , получим
(1.20)
Отсюда
Интегрируя это уравнение, получим
(1.21)
Если исключить отсюда Т с помощью известного уравнения , то можно получить уравнение состояния (1.19). Так, например, если уравнение имеет вид
(1.22)
то ). Если принять, что , уравнение (1.21) примет вид
(1.23)
Определим Т из уравнения (1.22) и подставим его в уравнение (1.23); в результате получим
(1.24)
или
(1.25)
Это и есть искомое уравнение , соответствующее уравнению состояния .
Для совершенного газа уравнение состояния имеет вид . Подставляя это уравнение в (1.23), получим уравнение состояния в виде
,
или
. (1.26)
Уравнения (1.24) и (1.26) при условии S = const являются уравнениями изоэнтропы. Для совершенного газа уравнение изоэнтропы имеет вид , где А = const.
Если уравнение имеет вид (1.24), то условие адиабатности движения среды будет
(1.27)