Введение

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

Кафедра физическихпроблем материаловедения

Лабораторная работа № 2

по курсу "Взаимодействие излучения с твердым телом"

«Вычисление дифференциальных сечений рассеяния для классической задачи взаимодействия двух тел»

Москва

Цель работы: проведение аналитических и численных расчетов на ЭВМ сечений рассеяния для классической задачи взаимодействия двух конкретных частиц и выбор на основе их сопоставления приближенного степенного потенциала взаимодействия для описания рассеяния данных частиц.

введение

Движениеускоренного иона в твердом теле сопровождается столкновениями с частицами среды, что приводит к потере энергии иона (торможению), изменению направления его движения (рассеянию), а также к смещению атомов кристалла из узлов решетки и распылению материала мишени. Характер взаимодействия ускоренного иона с твердым телом определяется энергией E _1, массой m ₁ и атомным номером Z ₁ иона, массой m ₂ и атомным номером Z ₂ атомов мишени (обычно, индекс «1» приписывается величинам, характеризующим ион, а «2» - атом мишени).

Потенциал взаимодействия «голых ядер» с зарядами Z ₁ e и Z ₂ e - потенциал Кулона

, (1.1)

где e – заряд электрона, r – расстояние между взаимодействующими частицами.

Чисто кулоновский потенциал можно использовать только в случае больших энергий ионов, когда ядра сталкивающихся частиц сближаются на расстояния меньше радиуса экранирования. При облучении ионами со средними энергиями, которые обычно используются, такое условие не выполняется, и поэтому в расчете потенциала взаимодействия должно быть учтено экранирующее действие электронов. Это делается введением функции экранирования F (r/a), где a - радиус экранирования:

. (1.2)

Потенциал (1.2) известен как потенциал экранирования Томаса–Ферми. Радиус экранирования по Линдхарду, Шарффу, Шиотту a = 0,8853 a _н(Z₁^2/3+Z₂^2/3)^-1/2, по Фирсову a = 0,8853 a _н(Z₁^1/2 + Z₂^1/2)^-2/3, где a _н = 0,0529 нм - боровский радиус. Функцию экранирования вводят или на основании теоретических моделей, или эмпирически. При этом функцию F (r/a) необходимо выбирать таким образом, чтобы она давала максимальное приближение к реальному взаимодействию по крайней мере для того диапазона расстояний r, который определяет интересующий нас эффект. Кроме того, желательно, чтобы функция имела удобную для математической обработки форму.

Если отвлечься от статистических моделей атома, обычный метод выбора потенциала U (r) – использование эмпирических и полуэмпирических функций. При этом для очень малых r, когда кулоновское взаимодействие заряженных ядер изменяется благодаря экранированию атомными электронами, используют потенциал Бора с экспоненциальной функцией экранирования:

U (r) = z ₁ z ₂ e² r ^-1 ехр(- r / a _б), (1.3)

где а _б = а _н/(z ₁^2/3+ z ₂^2/3)^1/2 - параметр экранирования.

Для данного потенциала экспоненциальная функция экранирования ехр(- r / a _б) рассматривается как грубое приближение функции экранирования Томаса–Ферми и дает более быстрое убывание U (r) с ростом r.

Для больших расстояний (r ³ 1Å), когда становится существенным влияние внешних электронных оболочек, потенциал Бора неудовлетворительно описывает взаимодействие между атомами, так как слишком быстро убывает c увеличением расстояния. Для таких r используется несколько видов пробных функций, применимых для атомов различных элементов, включая малые z. В частности, весьма распространено использование потенциала Борна–Майера, который описывает отталкивание ионов с замкнутыми оболочками:

U (r) = A exp (- r / a _бм), (1.4)

где А и a _бм - определяемые (подгоночные) параметры.

Используют также интерполяционную формулу:

, (1.5)

где а _бм и а ¢ - подгоночные параметры.

Очевидно, что, так как все рассмотренные потенциалы дают различную зависимость на разных r (за исключением очень малых значений r), не один из них, а также других возможных, не может подходить при описании рассеяния для всех межатомных расстояний.

Для приближенных расчетов в ряде случаев используются простые аналитические степенные потенциалы типа:

U (r) = С / rⁿ, (1.6)

где С и n - варьируемые параметры, причем С > 0.

Большим удобством использования степенных потенциалов является то, что только для них может быть получено аналитическое выражение для угла рассеяния χ частиц из общего уравнения движения:

, (1.7)

где U (r) – потенциал взаимодействия; E _R – относительная энергия взаимодействующих частиц; r _min – расстояние их наибольшего сближения, определяемое как корень уравнения:

. (1.8)

Таким образом, строгое рассмотрение процессов рассеяния возможно лишь в некоторых случаях с использованием степенных потенциалов типа (1.6), которые, однако, оказываются наименее реальными. Поэтому при рассмотрении реальных случаев, вообще говоря, приходится ограничиваться численным решением или приближенными аналитическими методами.

Рассмотрим кратко самые общие приближенные методы классической теории рассеяния (столкновений), которых практически достаточно для большинства оценочных расчетов. При заданном потенциале взаимодействия U (r) между налетающей частицей и мишенью, который будем считать отталкивающим и монотонно убывающим с ростом r задача о рассеянии сводится к определению угла рассеяния χ при определенной энергии Е _отн и прицельном расстоянии ρ, при этом χ = f (Е _отн, ρ).

Интеграл (1.8) вычисляется в элементарных функциях только для нескольких частных видов (приближенных) потенциалов отталкивания U(r):

1– потенциала жесткой сердцевины

где R-радиус жесткой сердцевины.

2 – степенных потенциалов

U (r) = a _n r ^{– n}

где a _n – const (a _n > 0); n = 1 или 2; еще при некоторых целых и полуцелых n получаются эллиптические функции.

3 – линейных комбинаций степенных потенциалов вида:

U (r)= b ₁ r ^–1+ b ₂ r ^–2, где b ₁ и b ₂ – const

4 – Элементарные функции получаются также в случаях, когда степенные потенциалы (2) или их линейные комбинации обрезаются, т.е. полагают, что U (r) = 0 при r > r _c. Величина r _c называется радиусом обрезания.

Для обрезанных потенциалов к функциям типа a _n r ^{– n} можно добавить n = 0, 1 и 2:

U (r)= ,

для которого интеграл остается элементарным.

На практике реальный (истинный) потенциал U ₀(r) не имеет такой простой формы как 1 – 4, поэтому угол рассеяния χ нельзя выразить через известные функции.

Одним из способов преодоления этого является подгонка истинного потенциала к одному из потенциалов вида 1 – 4 (U _приб(r)) на некотором расстоянии (r ₀) между частицами, дающем наибольший вклад в рассеяние, например при r _min (т.е. в точке max сближения). При такой подгонке определяются значения постоянных в выражении для U _приб(r).

Для более близкой подгонки потенциала U _приб(r) к реальному потенциалу U ₀(r) необходимо выполнение трех условий:

• U _приб (r ₀) = U ₀(r ₀) – равенство потенциалов
• – согласование наклона в данной точке r ₀.
• – согласование кривизны

При этом основным условием является согласование наклона кривых, т.к. определяет силы, действующие на расстоянии r ₀ = r _min.