Правила Киргофа для разветвлённых электрических цепей

Расчет разветвленных цепей значительно упрощается, если поль­зоваться правилами, сформулированными Кирхгофом. Этих правил два. Первое из них относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходится более чем два проводника (рис. 36.1). Ток, текущий к узлу, считается имеющим один знак (плюс или ми­нус), текущий от узла — имеющим другой знак (минус или плюс).

Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: ∑I_k = 0

Это правило вытекает из уравнения непрерывности, т. е., в конеч­ном счете, из закона сохранения заряда. Для постоянного тока ∆j всюду равна нулю. Следовательно, поток вектора j (т. е. алгебраическая сумма токов, текущих через окружающую узел воображаемую замкнутую поверхность) должен быть равен нулю.

Первое правило можно написать для каждого из N узлов цепи. Однако независимыми являются только N — 1 уравнений, N-е бу­дет следствием из них.

Второе правило относится к любому выделенному в разветвлен­ной цепи замкнутому контуру (см., например, контур 1—2—3—4—1 на рис. 36.2). Зададимся направлением обхода (на­пример, по часовой стрел­ке, как указано на рисунке) и применим к каждому из неразветвлённых участков контура закон Ома:

При сложении этих выражений потенциалы сокращаются и полу­чается уравнение ∑I_kR_k = ∑ε_k (36.2), которое выражает второе правило Кирхгофа.

Уравнение (36.2) может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить мысленно в данной разветвлен­ной цепи. Однако независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга.

Так, например, для цепи, изображенной на рис, можно составить три уравнения:

1) для контура 1—2—3—6—1,

2) для контура 3—4—5—6—3,

3) для контура 1—2—3—4—5—6—1.

Последний контур получается наложением первых двух. Следовательно, указанные уравнения не будут не­зависимыми. В качестве независимых можно взять лю­бые два уравнения из трех.

При составлении уравнений второго правила Кирх­гофа токам и э. д. с. нужно приписывать знаки в соот­ветствии с выбранным направлением обхода. Например, I­₁ на рис. нужно считать отрицательным, так как он течет навстречу выбранному направлению обхода. Э. д. с. ε₁ также нужно приписать знак «—», так как она действует в направлении, противоположном направ­лению обхода, и т. д.

Направления обхода в каждом из контуров можно выбирать совершенно произвольно и независимо от выбора направлений в других контурах. При этом мо­жет случиться, что один и тот же ток либо одна и та же э. д. с. войдет в разные уравнения с различными зна­ками (так получается с током I₂ на рис. при указан­ных направлениях обхода в контурах). Это, однако, не имеет никакого значения, потому что изменение направ­ления обхода вызывает лишь изменение всех знаков в уравнении (36.2) на обратные.

Число независимых уравнений, составленных в со­ответствии с первым и вторым правилами Кирхгофа, оказывается равным числу различных токов, текущих в разветвленной цепи. Поэтому, если заданы э. д. с. и сопротивления для всех неразветвленных участков, то могут быть вычислены все токи. Можно решить и за­дачи иного рода, например найти э. д. с, которые нужно включить в каждый из участков цепи, чтобы получить при заданных сопротивлениях нужные токи.