Частотне зображення неперіодичних сигналів

Будь який неперіодичний сигнал (рис. 3.7, а) можна розглядати як періодичний, період зміни якого дорівнює нескінченності (Т → ∞). Тому частотне зображення неперіодичного сигналу можна застосувати і на періодичний сигнал при Т → ∞. Оскільки , а , то при збільшенні періоду Т інтервали між суміжними частотами у спектрі амплітуд і фаз сигналу зменшуються, зменшуються й амплітуди (див. (3.7)) гармонічних складових.

а б

Рис. 3.7. Сигнал і його спектри амплітуд і фаз

При Т ® вони стають нескінченно малими величинами і ряд Фур'є, який відображає розкладення періодичного сигналу, перетворюється в інтеграл Фур'є, що відображає розкладення неперіодичного сигналу.

Комплексна форма інтеграла Фур'є має вигляд

,

(3.9)

де — спектральна щільність сигналу;

— амплітудо-частотна характеристика сигналу;

— фазочастотна характеристика сигналу.

Зображення неперіодичного сигналу інтегралом Фур'є (3.9) можливе за таких умов.

1. Функція х (t) задовольняє умовам Діріхле (на періоді має скінченну кількість екстремумів, є неперервною всюди, крім скінченної кількості точок, де її значення дорівнює .

2. Функція х (t) є абсолютно інтегрованою, тобто .

Таким чином, спектр неперіодичного сигналу є суцільним і являє собою суму нескінченної кількості гармонічних складових з нескінченно малими амплітудами (рис. 3.7, б). На основі (3.9) амплітуди гармонічних складових можна визначити виразом

.

З цього виразу знайдемо, що спектральна щільність

.

(3.10)

Спектральна щільність однозначно відображає неперіодичний сигнал і задовольняє умови (див. рис. 3.7, б):

;

— парна функція;

— непарна функція.

Приклад 3.2. Знайти спектр одиничного прямокутного імпульсу величиною А і тривалістю 2 τ (рис. 3.8, а).

Розв'язання. Використовуючи (3.10), визначимо

Знайдемо модуль спектральної щільності:

.

Графік змінення модуля спектральної щільності одиночного прямокутного імпульсу показано на рис. 3.8, б. Частотне зображення сигналів використовується при визначенні практичної ширини спектра сигналу, для розрахунку якої необхідно знайти енергетичні характеристики сигналу.