Практическая работа № 6 по теме «Интегрирование подстановкой»

Основное правило интегрирования:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. В результате производят обратную замену, е.у. переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.

Пример 1: Найти неопределенный интеграл

Решение. Введем замену Заменим интеграл суммы на сумму интегралов и вынесем постоянные коэффициенты за знак интеграла Полученные интегралы находим как интегралы от степенной функции: Делая обратную замену, окончательно получим

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

Решение. Введем замену и полученный интеграл находим как интеграл от степенной функции: Сделаем обратную замену

Пример 3.Найти неопределенный интеграл

Решение.Введем замену и полученный интеграл находим как интеграл от экспоненциальной функции Введем обратную замену

Пример 4.Найти неопределенный интеграл

Решение. Введем замену и полученный интеграл находим как интеграл от обратной функции: Выполним обратную замену

Пример 5.Найти неопределенный интеграл

Решение.Введем замену и полученный интеграл решим используя таблицу интегралов Выполним обратную замену, тогда будем иметь: