а) Найти произведение матриц АВ, где
б) Найти произведения АВ и ВА, где
в) Найти значение выражения 3А – ВС, где
Обратная матрица
Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е - единичная матрица порядка n.
Матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А -1.
Следующие условия являются необходимыми и достаточными, чтобы у матрицы А = (аij) n ´ m была определена обратная матрица:
а) n=m;
б) определитель матрицы А не равняется нулю:
Следующие преобразования строк матрицы называются элементарными:
а) умножение любой строки на число, отличное от нуля;
б) прибавление к строке другой строки, домноженной на любое число;
в) перестановка строк;
г) отбрасывание нулевой строки.
Для нахождения обратной матрицы А -1 применяется следующее правило:
а) выписывается матрица
(2.1)
б) с помощью элементарных преобразований над строками матрицы (2.1) превращают ее левую половину в единичную матрицу. Тогда ее правая половина превращается в обратную к ней матрицу А -1.
|
|
Примеры.
а) Для матрицы найдем обратную.
По приведенному выше правилу получаем:
Итак, обратная матрица А -1 равна
б) Решим матричное уравнение ХА + В = С, где
Умножим уравнение справа (порядок важен) на матрицу А -1. Тогда
ХАА -1 + ВА -1 = СА- 1. Так как АА -1 = Е, то ХЕ + ВА -1 = СА -1 или
= СА -1- - ВА -1 =(С-В)А -1.