Общее исследование функции

Под полным исследованием функции обычно понимается решение таких вопросов:

1. Определение области существования функции.
2. Выявление вопроса о четности и нечетности функции.
3. Определение точек разрыва функции.
4. Определение асимптот графика функции.
5. Определение интервалов возрастания и убывания функции.
6. Определение экстремума функции.
7. Определение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции.
8. Определение точек перегиба.
9. Нахождение пересечения с осями координат.
10. Построение графика функции.

Пример. Исследуем функцию

D (y) = (). Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

Точек разрыва нет.

Вертикальных асимптот нет; , наклонных асимптот нет.

5, 6. . Критические точки х = -2, х = 0.

х	()	-2	(-2, 0)		()
Знак	+	= 0	-		+
Поведение функции	Возрастает	max 3	Убывает	min	Возрастает

7, 8. , при х = 1, не существует при х = 0.

х	()		(0, 1)		()
Знак	-	=	-	= 0	+
Поведение функции	Выпукла верх	Не является точкой перегиба	Выпукла верх	Точка перегиба у = 6	Выпукла вниз

9. х =0 и х = -5.

10.

Задание 1

1. Вычислить определитель матрицы А второго порядка

2. Вычислить определитель матрицы В третьего порядка

3. Вычислить определитель матрицы В, разложив его по какой-либо строке и какому либо столбцу

4. Вычислить определитель матрицы В, пользуясь свойствами определителей. Свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению одного определителя второго порядка

Вариант 1
A =	(	-3	-6	)		B =	(		-1		)
					-5
							-2	-4
Вариант 2
A =	(			)		B =	(	-1	-4	-4	)
-9	-3		-4	-1
						-1		-2
Вариант 3
A =	(	-1		)		B =	(	-5		-3	)
-1	-8			-4	-4
						-3	-1
Вариант 4
A =	(	-10	-7	)		B =	(		-1	-2	)
			-3
						-5	-5
Вариант 5
A =	(			)		B =	(	-4	-4	-1	)
-5				-1	-3
								-5
Вариант 6
A =	(	-8	-1	)		B =	(				)
	-3		-2	-4
							-4	-3
Вариант 7
A =	(		-8	)		B =	(	-3	-1		)
-9	-8				-2
						-2		-1

Вариант 8
A =	(	-6		)		B =	(		-4		)
-1			-1	-1
						-4	-3
Вариант 9
A =	(		-2	)		B =	(	-2			)
			-5	-4	-1
Вариант 10
A =	(	-4	-9	)		B =	(		-1	-5	)
-5	-3				-5
							-2	-4

Задание 2

1. Решить методом Крамера систему уравнений Ах = а

2. Решить методом Крамера систему уравнений Вx = b

3. Решить методом Гаусса систему уравнений Вx = b

Вариант
									B =	(		-3		)	b=	(		)
A =	(			)	a=	(	-5	)			-1	-8
	-1			-2	-1	-3
Вариант
									B =	(	-4		-3	)	b=	(		)
A =	(			)	a=	(		)	-1	-5
-4	-2	-6	-2			-9
Вариант
									B =	(		-4		)	b=	(	-5	)
A =	(	-4	-1	)	a=	(	-1	)		-1	-2
-1	-3	-3		-3	-2	-1

Вариант
									B =	(	-5		-4	)	b=	(		)
A =	(	-2	-3	)	a=	(	-5	)	-2
	-4	-16	-3
Вариант
									B =	(	-1	-5		)	b=	(		)
A =	(		-5	)	a=	(		)		-2	-3
-4	-5			-4	-3
Вариант
									B =	(		-1	-5	)	b=	(		)
A =	(			)	a=	(		)	-3
-1		-9	-4
Вариант
									B =	(	-2		-1	)	b=	(	-8	)
A =	(	-5		)	a=	(	-5	)		-3	-4
				-5	-4
Вариант
									B =	(		-2		)	b=	(		)
A =	(	-3	-2	)	a=	(	-1	)	-4
-4			-5	-1
Вариант
									B =	(	-3		-2	)	b=	(	-11	)
A =	(	-1	-4	)	a=	(		)		-4	-5	-14
-1			-1		-5	-10
Вариант
									B =	(		-3		)	b=	(	-5	)
A =	(			)	a=	(	-14	)	-5		-1
	-1	-7		-2	-1

Задание 3.

1. Решить матричным методом систему уравнений Ах = а

2. Решить матричным методом систему уравнений Вx = b

Вариант
										B =	(		-3		)	b=	(		)
A =	(		-1	)	a=	(		)				-2	-12
	-3				-2
Вариант
										B =	(			-1	)	b=	(		)
A =	(	-5	-3	)	a=	(		)		-2		-4
-2	-5					-1	-13
Вариант
										B =	(	-3		-3	)	b=	(	-6	)
A =	(	-3	-5	)	a=	(		)			-1
		-6		-4	-5	-3
Вариант
										B =	(		-3	-5	)	b=	(		)
A =	(	-1		)	a=	(	-1	)		-1	-2
-5		-5		-2	-2	-5
Вариант
										B =	(				)	b=	(	-5	)
A =	(			)	a=	(	-3	)		-5	-3	-1
-2	-2						-7
Вариант
										B =	(	-3			)	b=	(	-6	)
A =	(		-2	)	a=	(		)			-4	-3
	-4	-6			-5
Вариант
										B =	(		-3	-2	)	b=	(		)
A =	(	-4	-4	)	a=	(	-4	)		-4	-5	-5
-5				-5	-2	-2
Вариант
										B =	(			-4	)	b=	(		)
A =	(	-2		)	a=	(	-21	)					-3
-2		-11		-3		-4
Вариант
										B =	(	-3			)	b=	(	-15	)
A =	(			)	a=	(	-4	)		-3			-16
	-1			-1	-5
Вариант
										B =	(		-3		)	b=	(	-2	)
A =	(		-1	)	a=	(	-7	)				-2
-5	-3				-2		-2

Задание 4.

Вычислить ранг матрицы.

1. , 2. ;

3. 4.

5. 6.

7. 8

9. 10.

Задание 5

Даны две вершины треугольника Δ АВС: А (х₁,у₁), В (х₂,у₂) и точка D (x₃,y₃)пересечения высот:

а) составить уравнение высот, медиан, биссектрис треугольника Δ АВС.

б) найти уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных сторонам.

в) определить длины высот треугольника и расстояние от точки М (х₄, у₄) до сторон треугольника.

n	x1	y1	x2	y2	x3	y3	x4	y4
1.
2.
3.
4.
5.		-2
6.
7.
8.
9.
10.				-3

Задание 6.

Даны координаты вершин пирамиды АВСD: А (х₁,у₁,z₁), В (х₂,у₂,z₃), C (x₂,y₂,z₂), D (х₄, у₄,z₃)

Найти:

1) длину ребра АВ;.

2) угол между ребрами АВ и АD;

3) угол меду ребром AD и гранью ABC;

4) площадь грани ABC;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой AB;

7) уравнение плоскости ABC;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

n	x1	y1	z1	x2	y2	z2	x3	y3	z3	x4	y4	z4
1.								-5
2.							-1
3.		-5					-3
4.	-2				-3				-1
5.			-6									-6
6.			-1
7.			-3	-5					-4
8.	-2				-3				-1
9.												-12
10.						-3	-6

Задание 7.

1. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношений расстояние до точки А (3,0) и до прямой х = 12 равно ε = 0,5 полученное уравнение привести к простейшему виду и построить прямую.

2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношений расстояние до точки А (-3,4) равно расстоянию до прямой у = 2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить прямую.

3. Показать, что есть уравнение окружности. Найти ее центр и радиус.

4. Написать уравнение окружности, проходящей через точки: (0,1), (2,0), (3,1).

5. Гипербола проходит через точки (3, ) и (,3). Найти уравнение гиперболы.

6. Найти уравнение асимптот гиперболы .

7. Найти острый угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.

8. Дана равнофокусная гипербола . Найти уравнение эллипса, фокусы которого находится в фокусах гиперболы, если известно, что эллипс проходит через точку А (4,6).

9. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее находится в начале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось Ох.

10. Парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку А (4,-1), а вершина ее лежит в начале координат. составить ее уравнение.

Задание 8. Найти область определения функции

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание 9.Построить график функции

1.

2.

3.

4

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание 10.Найти пределы функции

1.а) , б) , в) ,

г) , д)

2.а) , б) , в) ,

г) , д)

3.а) , б) , в) ,

г) , д)

4. а) , б) , в) ,

г) , д)

5.а) , б) , в) ,

г) , д)

6.а) , б) , в) ,

г) , д)

7. а) , б) , в) ,

г) , д)

8.а) , б) , в) ,

г) , д)

9.а) , б) , в) ,

г) , д)

10.а) , б) , в) ,

г) , д)

Задание 11. Найти производную

1. , б) ,

в) , г) , д) , е)

2. а) , б) , в) ,

г) , д)