Пример 2: Аналитическое решение системы нелинейных уравнений в системе MathCad

Задана магнитная цепь постоянного тока, рисунок 6.2. Известны геометрические размеры магнитопровода и кривая намагничивания стали. Требуется при известных токах в обмотках определить магнитные потоки Ф₁, Ф₂, Ф₃.

Рисунок 6.2 – Магнитная цепь и схема замещения

Решение.

1) Зададим с помощью оператора присваивания числовые значения параметров и геометрические размеры магнитопровода.

2) Проведем аппроксимацию кривой намагничивания В(Н), аналогично примеру 1.

3) Составим систему нелинейных уравнений по законам Кирхгофа для магнитной схемы замещения.

4) Используя блок Given Find решаем составленную систему нелинейных уравнений итерационным методом, предварительно задав начальные значения Ф₁, Ф₂, Ф₃, U_mab.

Численное решение системы нелинейных уравнений в системе Mathcad представлено на рисунке 6.3.

Вводим функцию, вычисляющую значение напряженности магнитного поля в зависимости от значения магнитного потока и площади сечения: Решаем систему уравнений

Рисунок 6.3 – Численное решение системы нелинейных уравнений в Mathcad

Следует отметить, что точность и продолжительность вычислений зависят от начальных (нулевых) приближений искомых величин Ф₁, Ф₂, Ф₃.

Пример 3: Графическоерешение системы нелинейных уравнений в системе MathCad

Рассмотрим ту же самую магнитную цепь, что и в примере 2. Требуется определить, как и в примере 2, магнитные потоки Ф₁, Ф₂, Ф₃.

Решение.

1) Объединим заданные и промежуточные расчетные значения в виде векторов-строк с помощью функции stack в таблицу, рисунок 6.4. Необходимо отметить, что вектор-строки размешаются в том порядке, в котором представлен список аргументов функции stack, то есть в первой строке указаны значения магнитной индукции В, во второй – напряженности магнитного поля Н, в третьей – магнитное напряжение U_m11 и так далее по списку.

2) Постройте аппроксимирующие кривые Ф₁(U_mab), Ф₂(U_mab), Ф₃(U_mab) с помощью функции linterp (U_m, Ф, U_mab). Следует отметить, что при использовании функции linterp необходимо, чтобы элементы вектора аргумента функции Ф(U_mab) располагались в порядке возрастания. Если по результатам расчета они убывают, то применяют функцию reverse, которая выводит новый вектор с обратным расположением элементов.

Аргументы U_m функций linterp определяются правыми частями уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа.

3) Определение точки пересечения аппроксимированных кривых определяется, согласно уравнению, составленному по первому закону Кирхгофа:

.

Графическое решение системы нелинейных уравнений в системе Mathcad представлено на рисунке 6.5.

Рисунок 6.4 – Исходные данные и результаты расчетов

На основании графического решения определяем точку пересечения:     Проверка:

Рисунок 6.5 – Графическое решение системы нелинейных уравнений в системе Mathcad

Различие в результатах численного и графического решения системы нелинейных уравнений магнитной цепи получено на уровне допустимой погрешности.