Элементы векторной алгебры

Физические величины могут быть скалярными и векторными.

Скалярными величинами (скалярами) называются такие величины, которые характеризуются только числовым значением (время t, масса m и т.п.).

Векторными величинами (векторами) называются такие величины, которые характеризуются числовым значением и направлением (скорость , сила и т.п.).

Геометрически вектор представляется направленным отрезком. Вектор называется свободным, если его можно перемещать в пространстве параллельно самому себе.

Сложение свободных векторов производится по одному из следующих правил.

Правило параллелограмма: приводят векторы к общему началу и достраивают на них (как на сторонах) параллелограмм. Вектор совпадающий с диагональю параллелограмма, которая исходит из общего начала данных векторов, называется их суммой.

Правило треугольника: Совмещают конец первого вектора и начало второго. Тогда вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, является их суммой.

При вычитании векторов и их приводят к общему началу. Тогда вектор, соединяющий их концы и направленный в сторону , будет разностью – (вектор - направлен в сторону .)

Произведение вектора на скаляр l называется вектор , сонаправленный с при l > 0 и противоположно направленный при l < 0, причем его модуль равен .

Скалярным произведением двух векторов и называют скаляр, равный

где a - угол между векторами.

Скалярное произведение коммутативно, т.е. его знак не зависит от порядка сомножителей.

Векторным произведением двух векторов и называется вектор, модуль которого равен

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат и , а его направление определяется по следующему правилу: если смотреть с конца вектора векторного произведения на векторы и , то кратчайший поворот от вектора к вектору будет происходить против часовой стрелки. Такая тройка векторов называется правой.