Ранг матриці та його властивості

Розглянемо матрицю А:

Виберемо в ній довільно k рядків і k стовпчиків. Елементи, які стоять на перетині обраних рядків і стовпців, утворюють квадратну матрицю k-го порядку. Знаємо, що визначник цієї матриці називається мінором k-го порядку матриці А.

Матриця має мінори будь-якого порядку від 1 до min (m, n). Серед усіх відмінних від нуля мінорів матриці А знайдеться хоча б один мінор, порядок якого буде найбільшим.

Означення. Найбільший із порядків мінорів даної матриці, відмінних від нуля, називається рангом матриці. Позначається r(A), rang(A).

Приклад. У матриці rang A=2, так як

Властивості рангу матриці:

1. При транспонуванні матриці її ранг не змінюється.

2. Ранг матриці не змінюється, якщо поміняти місцями рядки(стовпці).

3. Ранг матриці не змінюється, якщо помножити всі елементи рядка(стовпчика) на число, відмінне від нуля.

4. Ранг матриці не зміниться, якщо до елементів одного рядка(стовпчика) додати відповідні елементи другого рядка(стовпчика), помножені на одне й те саме число.

5. Ранг матриці не зміниться, якщо відкинути в матриці рядок(стовпчик), елементи якого дорівнюють нулю.

6. Ранг матриці не зміниться, якщо відкинути з матриці рядок(стовпчик), який є лінійною комбінацією інших рядків(стовпчиків).

Приклад. Визначити ранг матриці А, якщо

.

Розв’язання:

Відповідь: .