Рассмотрим определители для матриц первого, второго и третьего порядков:
а) Пусть А= (а11), тогда (1)
Из формулы (1) следует, что определитель для матрицы первого порядка совпадает с элементом матрицы
б) Пусть ,тогда (2)
Из формулы (2) следует, что определитель для матрицы второго порядка равен разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях.
в.) Пусть , тогда (3)
Для удобства запоминания формулы (3) можно использовать «правило треугольников», которое условно показано на схемах 1 и 2.
схема 1 схема 2
Первые три слагаемые, входящие в формулу (3) со своим знаком, подсчитываются в соответствии со схемой 1, а следующие три слагаемые, входящие с противоположным знаком, подсчитываются по схеме 2.
Алгебраическим дополнением элемента аij квадратной матрицы называется число Аij, вычисляемое по формуле:
где Mij –определитель, полученный из определителя матрицы удалением строки с номером i и столбца с номером j.
Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если
, где Е - единичная матрица. Из определения следует, что матрицы А и А-1 - квадратные матрицы одного порядка. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от нуля и , где Аij -алгебраические дополнения элемента аij матрицы .
Рассмотрим матричное уравнение , где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой не равен . Тогда .
Для уравнения , где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой не равен нулю, имеем .
Пример1. Найти А-1, если .
Решение.
Следовательно, обратная матрица существует.
Сделаем проверку.Для этого умножим А на А-1 и убедимся, что получим единичную матрицу.
Пример2.
Решить уравнение AX - B = C, где
Контрольные задания
1.1-1.20. Решить матричные уравнения и сделать проверку.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20