2015-10-22
1978
Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью (рис. 1).
Комплексному числу 
будет однозначно соответствовать на комплексной плоскости точка 
: 
(рис. 2). То есть на действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а на мнимой - мнимая.
Например. На рисунке 3 на комплексной плоскости изображены числа 
, 
и 
.
Модуль комплексного числа
Комплексное число также можно изображать радиус-вектором 
(рис. 2). Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число , называется модулем этого комплексного числа.
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.
Модуль вычисляется по формуле:
То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.
Задание. Найти модуль комплексного числа 
Решение. Так как 
, 
, то искомое значение
Ответ. 
Иногда еще модуль комплексного числа обозначается как 
или 
.
Аргумент комплексного числа
Угол 
между положительным направлением действительной оси и радиус-вектора , соответствующим комплексному числу , называется аргументом этого числа и обозначается 
.
Аргумент комплексного числа связан с его действительной и мнимой частями соотношениями:
На практике для вычисления аргумента комплексного числа обычно пользуются формулой:
Задание. Найти аргумент комплексного числа 
Решение. Так как 
, то в выше приведенной формуле будем рассматривать вторую строку, то есть
Ответ. 
Аргумент действительного положительного числа равен 
, действительного отрицательного - 
или 
. Чисто мнимые числа с положительной мнимой частью имеют аргумент равный 
, с отрицательной мнимой частью - 
.
У комплексно сопряженных чисел аргументы отличаются знаком (рис. 3).
Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть задано комплексное число . Как известно, его можно изобразить на комплексной плоскости точкой, абсцисса которой равна действительной части этого числа, то есть 
, а ордината - мнимой части 
(рис. 1).
Абсциссу и ординату комплексного числа можно выразить через модуль 
и аргумент следующим образом:
В данном случае и 
удовлетворяют соотношениям:
Тогда
Таким образом, для всякого комплексного числа справедливо равенство
которое называется тригонометрической формой комплексного числа 
.
Задание. Комплексное число 
представить в тригонометрической форме.
Решение. Для заданного числа действительная часть 
, а мнимая часть 
. Тогда модуль этого числа
а аргумент
Отсюда получаем, что
Ответ. 
