Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при массовых повторениях испытаний.
Случайные события
Основные понятия.
Под испытанием (опытом) понимается осуществление некоторого комплекса условий. Событием назовем всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Событие A в опыте называется достоверным, если при повторениях опыта оно всегда происходит.
Событие B в опыте называется невозможным, если при повторениях опыта оно никогда не происходит.
Событие в опыте называется случайным, если при повторениях опыта оно иногда происходит, иногда нет. Случайные события обозначаются А, В, С и т.д.
Два события называются несовместными (совместными), если появление одного из них исключает (не исключает) появление другого. Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если они попарно несовместны. Несколько событий в опыте называются совместными, если совместны хотя бы
два из них.
|
|
События в опыте называются равновозможными, если условия их появления одинаковы и нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.
Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.
Пример 1 Опыт - бросание игральной кости; события:
А1 - выпадение одного очка,
А2 - выпадение двух очков,
А3 - выпадение трех очков,
А4 - выпадение четырех очков,
А5 - выпадение пяти очков,
А6 - выпадение шести очков,
В - выпадение четного числа очков,
С - выпадение более семи очков,
D - выпадение не менее трех очков,
E - выпадение не более шести.
Достоверное событие в данном опыте - E, невозможное событие - С, остальные события - случайные. Первые шесть событий А1, А2, А3, А4, А5, А6 не могут быть выражены через более простые события и их называют элементарными событиями (элементарными исходами). Кроме того, они образуют полную группу несовместных равновозможных событий. Событие В можно выразить через более простые события: либо наступит А2, либо наступит А4, либо А6; следовательно, элементарным событием событие В не является.
Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Противоположные события обозначаются А и (не А).
Пример 2. Опыт - два выстрела по мишени; события: А - ни одного попадания, - хотя бы одно попадание.
Алгебра событий
Суммой или объединением событий А1, А2,..., Аn назовем событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
А1+А2+...+Аn=А1ÈА2È...ÈАn.
Произведением или пересечением событий А1, А2,..., Аn назовем событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
|
|
А1· А2·…·Аn =A1∩A2∩...∩An.
Пример 3. Опыт - два выстрела по мишени. Событие Аi - попадание в мишень при i - м выстреле (i =1;2).
Тогда событие В=А1+А2 - хотя бы одно попадание, событие С= 1+ 2 – хотя бы один промах, событие D= А1·А2 - попадание в цель дважды, Е= А1· 2 + 1·А2 - ровно одно попадание.