2015-10-22
786
Симметрические многочлены – это многочлены от двух переменных, которые от замены одной переменной на другую не изменяются. Например: x2+y2, x+y-xy. Многочлены u = x + y и v = xy называются элементарнымисимметрическими многочленами.
Верно ли, что любой симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от элементарных u и v?Как это сделать быстро?
Обобщение. Поставьте и решите аналогичную задачу для симметрического многочлена от трёх переменных (сколько есть элементарных симметрических многочленов от x, y, z?).
Многочлен с заданным нулём
Постройте многочлен с целыми коэффициентами, имеющий ноль 
. Постройте многочлен наименьшей степени, обладающий этим свойством.
Обобщение. Та же задача для суммы k квадратных корней из различных простых чисел.
Иррациональные корни
При каких целых 
корни уравнения 
записываются только через квадратичные иррациональности? (Допускается несколько знаков квадратного корня – один в другом.)
Количество решений
1. Исследуйте количество корней уравнения 
в зависимости от параметров p и q. Нарисуйте на плоскости параметров (p, q) области, соответствующие случаю 4, 3, 2 и т.д. корней.
2. Аналогичная задача для кубического многочлена x3 + px + q = 0.
3. Исследуйте количество корней уравнения в зависимости от параметров a, b и c. Изобразите соответствующие области в пространстве параметров 
.
