Дискретная случайная величина

Дискретная случайная величина принимает в результате испытания различные значения, которые можно записать в виде последовательности.

Закон распределения дискретной случайной величины X, принимающей значения с вероятностями p ₁, p ₂,…, p_n, представим в виде таблицы:

			…
			…

Причем должно быть выполнено условие p ₁+ p ₂+…+ p_n =1, называемое условием нормировки.

Математическим ожиданием M (X) дискретной случайной величины X называют число M (X)= x ₁ p ₁+ x ₂ p ₂+…+ x_np_n, где x_i – всевозможные значения случайной величины , p_i – вероятности, соответствующие значениям x_i.

Дисперсией дискретной случайной величины X называют число

D (X) = – M (X))² p_i,

где x_i – всевозможные значения случайной величины X, p_i – вероятности, соответствующие значениям x_i, M (X) – математическое ожидание случайной величины X. Для дискретной случайной величины справедливо равенство:

D (X) = x ₁² p ₁+ x ₂² p ₂+…+ x_n ²p_n –(M (X))².

Пусть проводится n независимых испытаний. Вероятность осуществления события A в одном испытании постоянна и равна p. Дискретная случайная величина X – число испытаний, в которых произошло событие A имеет биномиальное распределение. Это распределение вида

				…
				…

Вероятности p_i вычисляют по формуле p_i = pⁱ (1– p) ^n-i (i =0,1,…, n). Математическое ожидание M (X) числа появлений события A в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: M (X)= np. Дисперсия D (X) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в одном испытании: D (X)= np (1– p).

Пример 1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

	0	1	2
	0,3	0,5	?

Найдите: 1) вероятность того, что случайная величина X примет значение, равное двум; 2) математическое ожидание и дисперсию X.

Решение. Неизвестную вероятность P (X =2) вычисляют по формуле:

P (X =2)=1– P (X =0) – P (X =1)=1–0,3–0,5=0,2

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины соответственно равны:

M (X)=0∙0,3+1∙0,5+2∙0,2=0,9; D (X)=0²∙0,3+1²∙0,5+2²∙0,2–(0,9)²=0,49.

Ответ: 0,2; 0,9; 0,49.

Пример 2. Независимые дискретные случайные величины X и Y заданы законами распределений:

	0,3	0,7			0,6	0,4

Найдите закон распределения случайной величины Z = X + Y.

Решение. Случайная величина Z = X + Y принимает следующие значения:

z ₁= x ₁+ y ₁=1+2=3; z ₂= x ₁+ y ₂=1+4=5; z ₃= x ₂+ y ₁=3+2=5; z ₄= x ₂+ y ₂=3+4=7

с вероятностями:

P (Z =3)= P (X =1) P (Y =2)=0,3∙0,6=0,18;

P (Z =5)= P (X =1) P (Y =4)+ P (X =3) P (Y =2)=0,3∙0,4+0,7∙0,6=0,54;

P (Z =7)= P (X =3) P (Y =4)=0,7∙0,4=0,28.

Закон распределения случайной величины имеет вид

	3	5	7
	0,18	0,54	0,28

Ответ:

	3	5	7

Упражнения.

7. 5.1. Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10, 11 студентов. Составьте закон распределения случайной величины , определяемой как число студентов в наугад выбранной группе. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

					12
	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

10,1; 1,89.

7.5.2. Имеется двадцать коробок с яблоками, причем количество яблок в них: 10, 9, 11, 10, 12, 8, 11, 9, 10, 10, 11, 8, 9, 10, 9, 11, 12, 10, 9, 11 штук. Составьте закон распределения случайной величины X, определяемой как количество яблок в произвольно выбранной коробке, и найдите математическое ожидание и дисперсию этой величины. Ответ:

					12
	0,1	0,25	0,3	0,25	0,1

10; 1,3.

7.5.3. Бросают две правильные игральные кости. Случайная величина X –максимальное из двух выпавших очков Найдите математическое ожидание и дисперсию X. Ответ: 4,472; 19,39.

7.5.4. Вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,5; второго – 0,4. Найдите математическое ожидание и дисперсию общего числа попаданий в мишень. Ответ: 0,9; 0,49.

7 .5.5. Из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад вынимают два шара (без возвращения). Найдите математическое ожидание и дисперсию числа вынутых белых шаров. Ответ: 0,8; 0,36.

7.5.6. Вероятность попадания в мишень при каждом из трех выстрелов равна 1/3. Найдите математическое ожидание и дисперсию общего числа попаданий. Ответ: 1; 2/3.

7 .5.7. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа выпадения герба при десяти независимых бросаниях монеты. Ответ: 5; 2,5.

7.5.8. Найдите математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по каждому равна 0,3. Ответ: 6.

7.5.9. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в партии из пяти тысяч изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,02. Ответ: 100; 98.

7.5.10. Имеются 4 лампы, каждая из которых с вероятностью 1/3 имеет дефект. При ввинчивании в патрон дефектные лампы сразу перегорают, и тогда ввинчивается следующая. Случайная величина X – число ввинченных ламп. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Ответ:

				4
	2/3	2/9	2/27	1/27

40/27; 452/729

7.5.11. Найдите закон распределения случайной величины X, которая может принимать только два значения: x ₁ с вероятностью 0,3 и x ₂, если известно, что x ₁< x ₂, M (X)=5,4, D (X)=0,84. Ответ:

		6
	0,3	0,7

7.5.12. Даны все возможные значения дискретной случайной величины X: x ₁=1, x ₂=2, x ₃=3, а также известны M (X)=2,3 и M (X ²)=5,9. Найдите закон распределения случайной величины X. Ответ:

			3
	0,2	0,3	0,5

7.5.13. Заданы законы распределения независимых случайных величин X и Y:

	0,2	?	0,4			?	0,4	0,5

Найдите P (X =2), P (Y =0), M (X + Y), M (X – Y), D (X + Y), D (X – Y), M (XY).

Ответ: 0,4; 0,1; 5,2; –0,4; 4; 4; 6,72.

7.5.14. Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y:

	0,1	0,5	?			0,3	?

Найдите P (X =20) и P (Y=20), закон распределения X+Y, проверьте свойство

M (X+Y)= M (X)+ M (Y). Ответ: 0,4; 0,7;

				40
	0,03	0,22	0,47	0,28

7.5.15. Случайная величина X задана законом распределения

	-1	0
	0,4	0,6

Случайная величина Y представляет собой число появлений события A с постоянной вероятностью p =0,6 в двух независимых испытаниях. Составьте закон распределения разности X – Y и проверьте свойство дисперсии D (X – Y)= D (X)+ D (Y). Ответ:

	-3	-2	-1	0
	0,144	0,408	0,352	0,096

7.5.16. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределений

	-2
	0,3	0,4	0,3			0,5	0,5

Составьте закон распределения случайной величины Z =2 X – Y и проверьте свойство D (2 X – Y)=4 D (X)+ D (Y).

Ответ:

	-6	-5	-2	-1		3
	0,15	0,15	0,2	0,2	0,15	0,15

7.5.17. Продаются саженцы трех сортов. Вероятность того, что приживется саженец первого сорта, равна 0,75; второго – 0,7; третьего – 0,6. Садовод купил три саженца различных сортов. Составить закон распределения числа прижившихся у него саженцев.

7.5.18. В бригаде имеется четыре трактора. Вероятность выхода в поле каждого из них каждый день одинакова и равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины – числа тракторов, которые выйдут в поле в произвольно выбранный день.

7.5.19. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,3. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом из четырех посаженных. Найти функцию распределения и построить ее график.

7.5.20. Доярка обслуживает три доильных аппарата. Вероятность того, что в течении дойки первый аппарат не потребует ее внимания, равна 0,1; второй – 0,2; третий – 0,3. Составить закон распределения числа доильных аппаратов, которые потребуют внимания рабочего в течении часа.

7.5.21. Вероятность повреждения упаковки при перевозке изделия равна 0,2. Составить закон распределения числа изделий с поврежденной упаковкой среди взятых наудачу четырех. Найти функцию распределения этой случайной величины и пользуясь ею, найти вероятность того, что изделий с поврежденной упаковкой будет не меньше одного, но меньше трех.