Применение способов преобразования комплексного чертежа

47. Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положения (рис. 127).

Рис. 127

Решение

Известно, что проекция отрезка прямой на какой-либо плоскости равна самому отрезку (с учетом масштаба чертежа), если он параллелен этой плоскости. Из этого следует, что путем преобразования чертежа надо добиться того, чтобы отрезок АВ стал параллелен плоскости проекций.

На рис. 127 отрезок АВ повернут вокруг оси i, проходящей через точку В и перпендикулярной к плоскости П₁, до положения, параллельного плоскости проекций П₂. При этом точка В остается на месте, а точка А занимает новое положение. Новая горизонтальная проекция A₁^-B₁^- отрезка А^-В^- должна быть параллельна оси проекций; фронтальная проекция А₂^- точки А будет перемещаться по прямой, перпендикулярной оси i,и находится на пересечении с линией связи, проведенной через точку A₁^-. Проекция А₂^-В₂^- равна истинной величине отрезка АВ.

На рис. 128 задача решена способом замены плоскости П₂ на П₄ П₁ и параллельной отрезку АВ. Проекция А₄В₄ равна натуральной величине отрезка АВ.

Рис. 128

48. На прямой общего положения l от точки А отложить отрезок, равный h.

Решение

Берем на прямой l произвольную точку В и находим истинную величину отрезка АВ одним из указанных выше способов преобразования чертежа. На истинной величине откладываем отрезок, равный h, и обратным проецированием находим проекции этого отрезка.

49. Плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми, преобразовать в проецирующую плоскость (рис. 129).

На рис. 129 задача решена способом замены плоскостей проекций. Так как прямая АВ является горизонталью плоскости, то заменяем плоскость П₂ на П₄, перпендикулярную к плоскости П₁ и к горизонтали АВ. Тогда плоскость ABC, проходящая через перпендикуляр АВ к плоскости П₄, будет ей перпендикулярна и поэтому спроецируется в прямую линию.

На рис. 129 новая ось X₁₄ A₁B₁. Остальное ясно из рисунка.

Рис. 129

50. Плоскость треугольника ABC общего положения преобразовать в плоскость уровня (рис. 130).

Рис. 130

Решение

На рис. 130 задача решена при помощи способа плоскопараллельного перемещения. Сначала все вершины треугольника ABC перемещены в плоскостях, параллельных плоскости проекций П₁, так, чтобы плоскость треугольника оказалась перпендикулярна П₂. Это достигнуто с помощью горизонтали С-1, перемещенной так, чтобы она расположилась перпендикулярно П₂ (горизонтальная проекция C^-₁ – 1^-₁ перпендикулярна оси X, причем | C^-₁ – 1^-₁ | = | С₁ - 1₁ |). Треугольник А₁В₁С₁ = треугольнику A^-₁B^-₁C^-₁.

На П₂ треугольник спроецируется в отрезок А^-₂ - С^-₂ – В^-₂. Располагая новую фронтальную проекцию А⁼₂С⁼₂В⁼₂, которая равна А^-₂С^-₂В^-₂, параллельно оси проекций, получим искомое решение. Причем новая горизонтальная проекция треугольника А⁼₁В⁼₁С⁼₁ равна истинной величине треугольника ABC.

51. Определить истинную величину треугольника ABC, вращением вокруг проецирующей прямой (рис. 131).

Решение

В треугольнике ABC прямая АС является горизонталью. Поэтому взяв ось вращения i проходящей через вершину A (A₁, A₂), поворачиваем А₁С₁ из центра i₁ до положения, перпендикулярного оси проекций. Тогда на П₂ плоскость спроецируется в прямую линию, т.е. станет фронтально-проецирующей. Взяв теперь ось вращения перпендикулярно П₂, повернем вокруг нее А^-₂В^-₂ до положения, параллельного оси проекций. Тогда новая горизонтальная проекция А^-₁В⁼₁С₁^- будет являться натуральной величиной треугольника ABC.

Рис. 131

52. Найти расстояние от точки S до плоскости треугольника ABC (рис. 132).

Решение

Плоскость треугольника ABC преобразовывается в плоскость проецирующую. Расстояние от нового положения точки S до вырожденной проекции плоскости есть искомое.

Рис. 132

53. Определить кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми SA и ВС (рис. 133).

Рис. 133

Решение

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется отрезком MN перпендикуляра к этим прямым. Очевидно, что, если одну из прямых (например ВС) расположить перпендикулярно к какой-либо новой плоскости П₅, то отрезок MN искомого перпендикуляра окажется параллельным этой плоскости П₅ и его проекция на эту плоскость будет искомым решением.

Решим задачу способом замены плоскостей проекций. Заменяем плоскость проекций П₂ на новую П₄ П₁ и параллельную ВС (см. рис. 128). Второй заменой плоскости П₄ на П₅ П₄ и перпендикулярной к В₄С₄ получаем проекцию прямой ВС на П₅ в виде точки В₅ = С₅. Опустив из этой точки перпендикуляр на проекцию S₅A₅,получим искомое кратчайшее расстояние.

54. Определить величину двугранного угла SABC при ребре АВ (рис. 134).

Решение

Двугранный угол измеряется линейным углом, полученным в пересечении граней двугранного угла плоскостью, перпендикулярной к его ребру АВ. Поэтому одним из способов преобразования чертежа (например, способом перемены плоскости проекций или способом плоскопараллельного перемещения) преобразуем данные задачи так, чтобы ребро АВ стало вначале линией уровня, а потом проецирующей прямой. В результате преобразований получим линейный угол данного двугранного угла.

Рис. 134

55. Построить проекции окружности радиуса R, расположенной в плоскости ABC, с центром в точке А (рис. 135, рис. 136).

Решение

В методических указаниях "Начертательная геометрия и черчение" для студентов-заочников инженерно-технических вузов (С.А. Фролов, А.В. Бубенников и др.) даны рекомендации по решению этой задачи, основанные на преобразовании родства, хотя об этом ничего не пишется (Рис. 136). Ниже предлагается решение этой задачи способом вращения вокруг линии уровня.

Так как АС - горизонталь плоскости, то повернем треугольник ABC вокруг АС до положения, параллельного плоскости проекций П₁. Для этого достаточно повернуть лишь точку В, радиус вращения которой равен отрезку O₁E₀. Причем B₁E₀ = B₂C₂ - разности высот точек В и С. Плоскость А₀В₀С₀ будет параллельна П₁. Далее из точки A₀ =A₁ описываем окружность радиуса R.

Большая ось эллипса 1₁-2₁ будет равна 2R и расположена на горизонтальной проекции горизонтали А₁С₁. Малая ось эллипса будет проходить через центр эллипса А₁ и перпендикулярна большой оси 1₁ - 2₁. Для определения величины этой оси необходимо произвести обратное преобразование, а именно: по точкам N₀ и N₀¹, лежащим в плоскости A₀B₀C₀, найти их горизонтальные проекции N₁ и N₁¹. Это сделано при помощи произвольной прямой С₀ - N₀, лежащей в плоскости А₀В₀С₀, т.е. решена задача на инцидентность. По точке T₀ =A₀B₀ ∩ N₀C₀ найдена точка T₁, a затем и точка N₁¹. Отрезок А₁ -N₁ равен малой полуоси эллипса.

Рис. 135

Рис. 136

Позиционные задачи

56. Построить точку пересечения прямой с плоскостью и определить видимость, если: прямая l горизонтально-проецирующая, а плоскость ABC – общего положения (рис. 137).

Рис. 137

57. Построить линию пересечения плоскости ABC и фронтально-проецирующей плоскости G (рис. 138).

Рис. 138

58. На какой глубине при вертикальном бурении из точки D поверхности земли встретится пласт, плоскость которого определена точками A, B, C (рис. 139).

Рис. 139

59. Построить точку пересечения прямой общего положения l с плоскостью общего положения, заданной треугольником ABC (рис. 140).

Рис. 140

Решение

Алгоритм графического решения состоит из следующих элементарных операций: Через данную прямую l проводим вспомогательную плоскость Г, в большинстве случаев проецирующую. Пусть это будет фронтально - проецирующая плоскость Г Ì l. Строим линию пересечения данной плоскости ABC и вспомогательной плоскости Г: MN = (ABC) Г. Прямая MN определяется точками пересечения сторон АВ и ВС треугольника ABC с плоскостью Г.

А₂В₂ Г₂ = М₂

В₂С₂ Г₂ = N₂

M₂ È N₂ = M₂N₂

С помощью линий связи на А₁В₁ и B₁C₁ находим точки M₁ и N₁, которые определяют горизонтальную проекцию линии пересечения (M₁N₁). Находим точку К пересечения прямой l с построенной прямой MN.

К = MN Ç l

l₁ M₁N₁ = K₁

К₂ Є M₂N₂.

Точка К является искомой точкой пересечения прямой l с плоскостью ABC.

Определим видимость методом конкурирующих точек.

Возьмём на пересечении горизонтальных проекций l₁ и А₁С₁ прямых l и АС пару конкурирующих точек 1 и 2, горизонтальные проекции которых совпадают, т.е. 1₁=2₁. Найдём фронтальные проекции этих точек, проводя линии связи через точки 1₁ и 2₁. Пусть точка 1 Ì l и 2 Ì АС. Тогда 1₂ Ì l₂ и 2₂ Ì А₂С₂. Так как высота точки 1 больше, чем у точки 2, т.е. , то точка 1₁ Ì l₁ - видимая, а точка l₁ Ì A₁C₁ - невидимая. Итак, прямая l₁ видима на П₁ до точки K₁, а после этой точки до прямой А₁В₁ - невидимая.

Аналогично устанавливается видимость на фронтальной проекции с помощью конкурирующих точек 3 и 4.

60. Определить точки, в которых мачта АВ антенны и её растяжки АС, АD, АЕ пересекают кровлю (рис. 141).

Рис. 141

61. Построить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (рис. 142).

Рис. 142

62. Построить линию пересечения двух плоских фигур, заданных треугольниками ABC и DEK (рис. 143).

Рис. 143

Решение

Известно, что две плоские фигуры всегда пересекаются по прямой линии, которая определяется двумя точками. Таким образом, надо найти две общие точки у треугольников ABC и DEK. Этими точками могут быть точки пересечения, например, стороны DK с плоскостью треугольника ABC и стороны АВ с плоскостью треугольника DEK. Таким образом, решение задачи сводится к двукратному выполнению первой основной позиционной задачи. Для этого, например, через прямую DK проведём горизонтально-проецирующую плоскость α (α₁).Построим прямую 1-2 пересечения плоскости треугольника ABC и плоскости α. Определяем точку M (M₁, M₂) пересечения прямых 1₂2₂ и D₂K₂. Аналогично находятся и точка N (N₁, N₂) пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника DEK,для чего через АВ проведена фронтально-проецирующая плоскость b (b₂), Точки M (M₁, M₂)и N (N₁, N₂)соединим прямой, которая и является искомой линией пересечения плоскостей. Затем определим видимость методом конкурирующих точек, как и в предыдущей задаче.

63. Построить линию пересечения двух плоских фигур АВС и DEF и определить их видимость (рис. 144).

Рис. 144

64. Построить линию пересечения DАВС и плоскости, заданной параллельными прямыми ED и FG (рис. 145).

Рис. 145

65. Построить линию пересечения плоских откосов α (a || b) и b (l || m) (рис. 146).

Рис. 146

66. Построить линию пересечения плоскостей Γ (a || b) и Δ (l || m) крыши (рис. 147).

Рис. 147