Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами

Матрицы размера nxm называются прямоугольными. Матрица – это таблица содержащая n строк и m столбцов. На первом месте – номер строки. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрица обозначается латинскими заглавными буквами.

Если число строк = числу столбцов матрица называется квадратной.

Матрицы A и B называются равными, если они совпадают поэлементно. (a_ij=b_ij)

Матрицы содержащие только одну строку называются матрицей-строкой или вектором-строкой или просто вектором.

Матрицы содержащая только 1 столбец называется матрицей-строкой, вектором-строкой или просто вектором.

Матрица Е – единичная, всегда квадратная, состоит из нулей, только по диагонали единицы. (аналог 1)

О – нулевая матрица, любого размера. (аналог 0)

Операции:

1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы A на число l это матрица B=l*A, каждый элемент которой = b_ij= l*a_ij

2. Сложение матрицы. Суммы матриц A и B одного размера называется C=A+B каждый элемент которой равен c_ij=a_ij+b_ij

3. Вычитание. Разностью матриц A и B одного размера называют C=A+(-1)*B

4. Умножение матриц. Произведение матриц A и B определено, если размеры согласованы, т.е. число столбцов матрицы A = числу строк матрицы B. Если размеры согласованы, то произведение матрицы A и B называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений C_ij элементов i-строки матрицы A на элемент j-столбца матрицы B.

5. Возведение в степень. Целой положительной степенью матрицы A^k называется произведение A^k = A*A*A*…A

k-раз

Матрица только квадратная. Домножаем на матрицу только справа.

A¹=A

A⁰=E

2. Транспонирование матрицы. (A^T)

Переход от матрицы A к матрице A^T в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранение порядка называется транспонированием.

Св-ва транспонирования:

1. (A^T)^T = A^T

2. (l*A^T) = l*A^T

3. (A+B)^T= A^T+B^T

4. (A*B)^T= B^T*A^T

Матрица A называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной матрицей. (a_ij=a_ij, только квадратные).

Матрица A называется кососимметрической, если a_ij=-a_ij

Определители матрицы

Определители существуют только для квадратных матриц. Обозначаются определители: |A| или D_A или D_A.

1) 1x1 |A|=a₁₁

2) 2x2 крест-накрест

3) 3x3 по правилу треугольника

4) Для того, чтобы находить определители матрицы 4 порядка, необходимо изучить понятие обратной матрицы.

Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы = сумме произведений элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраическое дополнение.

Св-ва определителей:

1) Если элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число l, то весь определитель умножится на число l.

За знак определителя можно выносить общий множитель строки или столбца.

2) Перестановка местами двух строк ее определитель меняет знак на противоположный

3) Если матрица имеет две одинаковых строки или столбца, то ее определитель равен нулю

4) Если матрица имеет нулевую строку (столбец), то ее определитель равен 0

5) При транспонировании, определитель матрицы не меняется

6) Если элементы 2-х строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то определитель равен нулю

7) Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на число, то определитель матрицы не изменится.