2015-10-22
562
Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1=х1+iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством
z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2). (28.1)
Сложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:
- z1+z2=z2+z1
- (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 164).
Непосредственно из рисунка видно, что |z1+z2|≤|z1|+|z2|. Это соотношение называется неравенством треугольника.
Вычитание комплексных чисел
Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число zl т. е. z=z1-z2, если z+z2=z1.
Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z:
z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2). (28.2)
Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 165).
Непосредственно из рисунка видно, что |z1-z2|≥|z1|-|z2|. Отметим, что
т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство |z-2i|=1 определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки z0=2i, т. е. окружность с центром в z0=2i и радиусом 1.
