Фундаментальна система розв’язків

З розглянутих вище властивостей випливає, що з будь-яких двох частинних розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь можна скласти безліч розв’язків даної системи як різні лінійні комбінації цих розв’язків.

В зв’язку з цим виникає питання, чи не можна всі розв’язки системи однорідних лінійних рівнянь подати як лінійні комбінації кількох певних розв’язків.

Виявляється, що можна знайти так звану фундаментальну систему розв’язків характерну тим, що кожний розв’язок однорідної системи є якоюсь лінійною комбінацією розв’язків фундаментальної системи.

Зрозуміло, що фундаментальна система розв’язків має бути лінійно незалежною, бо у протилежному випадку один з розв’язків сам був би лінійною комбінацією інших розв’язків даної системи і тому його можна було б відкинути.

Означення. Фундаментальною системою розв’язків системи однорідних лінійних рівнянь називається така лінійно незалежна сукупність її розв’язків, що всякий розв’язок даної системи є якоюсь лінійною комбінацією розв’язків з цієї сукупності.

Доведено, що для довільної однорідної системи (10.1) з рангом r < n існує фундаментальна система розв’язків. Число розв’язків цієї системи дорівнює n - r.

Для знаходження фундаментальної системи отримують спочатку загальний розв’язок однорідної системи рівнянь, а потім надають вільним невідомим числові значення рядків детермінанта (n - r)-го порядку діагонального виду.

Одержані таким чином частинні розв’язки однорідної системи складають фундаментальну систему розв’язків.

Якщо D^(n-r) = , то фундаментальна система розв’язків називається нормованою.

Вправи. Знайти нормовану фундаментальну систему розв’язків для систем:

Відповідь: .

Відповідь: , .

Метод Гаусса

Метод Гаусса — це метод послідовного виключення невідомих. Запишемо розширену матрицю

системи m лінійних рівнянь з n невідомими і для встановлення її рангу будемо виконувати елементарні перетворення лише над рядками матриці. Ці елементарні перетворення відповідають елементарним перетворенням над рівняннями системи, які не змінюють її розв’язків (множення рівняння на дійсне число відмінне від нуля, складання рівнянь та переставлення їх місцями).

Тоді, після встановлення сумісності системи для знаходження її розв’язків необхідно записати систему рiвнянь, що відповідає останній перетвореній матриці системи. Ця система має трикутний вигляд і містить r рівнянь.

Знайдемо із останнього (r -го) рівняння цієї системи базисну невідому x_r і підставимо її в попереднє ((r -1) - шe) рівняння. Знайдемо x_r _-₁ і т.д., поки не дійдемо до першого рівняння, з якого знаходимо x ₁.