При постановке экспериментов, построении моделей часто бывает полезным предварительно установить функциональную связь между параметрами, определяющими процесс.
Если известны ФВ, характеризующие некоторый процесс, то методом сравнения размерностей можно с точностью до постоянного множителя найти уравнение, отражающее связи этих величин между собой.
Пример 1. Установить зависимость периода свободных колебаний математического маятника от его параметров.
Рис.11
Маятник характеризуется длиной и массой груза . Колебания происходят в поле сил тяжести. Его характеристика – ускорение свободного падения .Указанные величины примем в качестве основных единиц измерения. Для этого они должны обладать независимыми размерностями:
;
;
.
Определитель, составленный из показателей степеней величин, входящих в формулы размерности:
.
Это свидетельствует о независимости размерностей рассматриваемых физических величин.
Следовательно, период свободных колебаний маятника можно представить функцией вида:
|
|
.
Величины входят в эту функцию с показателями , а сама функция имеет вид степенного одночлена:
, (п.1)
где - безразмерный, неопределяемый коэффициент пропорциональности;
- подлежащие определению показатели степени.
Составим уравнение размерностей, выражающее равенство размерностей левой и правой частей соотношения (п.1). Так как
то можно записать:
или
.
Сравнивая соответствующие показатели размерностей левой и правой частей этого равенства, получаем систему уравнений:
Отсюда: .Подставляя найденные значения показателей в формулу (п.1), находим:
.
Значение коэффициента может быть найдено из опыта (эксперимента).
Из решения дифференциального уравнения движения математического маятника известно, что
.
В итоге получаем известную формулу для определения периода свободных колебаний маятника:
.
Пример 2. Определить период свободных колебаний одномассовой системы как функцию от ее параметров: жесткости и массы.
Рис.12
Свободные колебания системы определяются следующими параметрами: -массой, - жесткостью и - перемещением массы относительно положения статического равновесия . Период свободных колебаний, в общем случае, зависит от массы , жесткости и перемещения :
.
За основные единицы примем единицы измерения величин . Можно показать, что они обладают независимыми размерностями
,
,
,
т.к. определитель
.
Искомую функцию представим в виде степенного одночлена:
, (п.2)
где - неопределяемый постоянный коэффициент;
- показатели степени, подлежащие определению.
Левая и правая части этого равенства должны иметь одинаковую размерность. Так как , то получаем:
|
|
.
Сравнивая показатели степеней при соответствующих размерностях левой и правой частей равенства, находим:
Отсюда: .Подставляя найденные значения показателей в (п.2), имеем:
.
Из решения уравнений движения системы известно: .
Окончательно
.
Пример 3. Определить период свободных колебаний поплавка в жидкости.
Рис.13
Определяющие параметры: - плотность жидкости; - глубина погружения поплавка; - ускорение свободного падения. Определяемый параметр: - период свободных колебаний.
Величины имеют независимые размерности
,
,
,
т.к. определитель
.
Тогда период свободных колебаний можно представить в виде степенного одночлена
, (п.3)
где - постоянный коэффициент;
- искомые показатели степеней.
Уравнение размерностей.
Так как , то уравнение размерностей имеет вид:
.
Уравнения для определения показателей степени.
Сравнивая показатели степеней при соответствующих размерностях, находим:
Отсюда .
Подставим эти значения в выражение (п.3). В результате получим
.
Известно, что . Тогда
.
Пример 4. Определить зависимость времени истечения жидкости из сосуда от его параметров (рис.14). Определяющие параметры: - ускорение свободного падения; - уровень жидкости в сосуде; - плотность жидкости; - поперечная площадь сосуда; - площадь отверстия, через которое происходит истечение жидкости. Определяемый параметр: - время истечения жидкости из сосуда.
Рис.14
Величины примем в качестве основных. Их размерности
,
,
являются независимым, т.к. определитель
.
Будем полагать, что время истечения пропорционально и обратно пропорционально . Тогда можно принять для рассмотрения следующую функциональную зависимость:
. (п.4)
Запишем уравнение размерностей:
Так как то
.
Отсюда
Решение этой системы дает: .
Подставляя найденные значения показателей соответствующих размерностей в выражение (п.4), находим:
.
Точное решение задачи дает . Заметим, что при отсутствии точного решения величина может быть определена экспериментальным путем.
Окончательно
.
Пример 5. Установить функциональную связь силы давления струи на стенку с параметрами: - площадь сечения насадка; - скорость истечения жидкости из насадка (скорость струи).
Рис.15
Определяющие параметры: . Определяемый параметр: .Величины примем в качестве основных. Их размерности
,
,
,
являются независимыми, т.к.
.
Функциональную зависимость будем искать в виде степенного одночлена
. (п.5)
Составим уравнение размерностей
Так как , то
или
.
Отсюда
Тогда
.
Подставляя найденные показатели в (п.5), находим:
.
Известно, что . Окончательно .
Пример6. Установить зависимость избыточного давления в покоящейся жидкости в заданной точке от глубины этой точки под свободной поверхностью. Жидкость имеет плотность и находится в поле сил тяжести, которое характеризуется ускорением свободного падения .
Рис.16
Избыточное давление – определяемая величина. Величины -определяющие величины, которые должны иметь независимые размерности, а их число должно быть равно числу основных единиц в системе .
Размерность величин
являются независимыми, т.к. определитель, составленный из показателей степени,
.
Связь между рассматриваемыми величинами можно представить в виде степенного одночлена
(п.6)
где - безразмерный неопределяемый коэффициент пропорциональности;
- показатели степени, подлежащие определению.
Составим уравнение размерностей
или
или
.
Из последнего уравнения следует система уравнений для определения показателей степени
Решая эти уравнения, находим: .
Подставляя полученные значения в выражение (п.6), получаем:
|
|
.
Из гидростатики известно, что . Тогда окончательно
.
Следует заметить, что коэффициент может быть определен опытным путем.
Приложение 5