Среднеквадратическое отклонение (стандарт): .
Асимметрия непрерывной с.в. Х:
. (3.12)
Если с.в. Х распределена симметрично относительно своего м.о., то А(х)= 0.
Коэффициент изменчивости (вариации) с.в. Х – отношение стандарта к м.о.:
. (3.13)
Коэффицие́нт эксце́сса (коэффициент островершинности) в теории вероятностей – мера остроты пика распределения случайной величины.
Пусть задана случайная величина , такая что . Пусть обозначает четвертый центральный момент: , а – стандартное отклонение . Тогда коэффициент эксцесса задается формулой:
.
«Минус три» в конце формулы введено для того, чтобы коэффициент эксцесса нормального распределения был равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.
Кванти́ль (или квантиль порядка ) – числовая характеристика закона распределения случайной величины; это такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей . Квантиль первого порядка Р(х) – обратная функция зависимости х от Р(х).
|
|
- кванти́ль случайной величины с функцией распределения – это любое число удовлетворяющее двум условиям:
1)
2)
Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:
и
Если – непрерывная строго монотонная функция, то существует единственный квантиль любого порядка который однозначно определяется из уравнения и, следовательно, выражается через функцию, обратную к функции распределения:
Кроме указанной ситуации, когда уравнение имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:
1) если указанное уравнение не имеет решений, то это означает, что существует единственная точка в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилем порядка . Для этой точки выполнены соотношения: и (первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство);
2) если уравнение имеет более одного решения, то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантиля порядка может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины в данный интервал равна нулю.