Проверка гипотезы для коэффициента корреляции

Пусть r обозначает выборочный коэффициент корреляции, полученный по извлеченным из двумерного нормального распределения пар наблюдений (x₁, y₁),…,(x_n, y_n).

Коэффициент корреляции в популяции неизвестен, но может быть оценен по выборке с помощью выборочного коэффициента корреляции r:

(1)

где оценки среднего равны:

.

Проверим значимость коэффициента корреляции.

Нулевая гипотеза состоит в том, что коэффициент корреляции равен нулю, альтернативная - не равен нулю:

Очевидно, достаточно большое по абсолютной величине значение величины r будет стремиться опровергнуть нулевую гипотезу.

Возникает вопрос.

Насколько большое должно быть абсолютное значение величины r?

Для того чтобы проверить гипотезу, мы должны знать распределение величины r.

Собственное распределение величины r довольно сложное, поэтому мы применим преобразование:

(2)

Итак, выборочное распределение этой статистики есть распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы.

При заданном уровне значимости (α) определяем критическое значение t_кр.

Принимаем решение об отклонении или не отклонении нулевой гипотезы:

- отклоняем H₀

- не отклоняем H₀