Тривиальные соотношения

SjSj- 1 = Sj-1S j = 1, Sj.1=1.Sj=S j (j=1, 2,…, n-1).

Соотношения далекой коммутативности

SiS j =SjSiпри i-j 2 (i,j=1,2,…, n-1).

3. Соотношения сплетения SiSi+1SiSi+1 (i=1, 2, …, n-2).

Доказательство.

Любая коса представляется в виде произведения элементарных кос S1,S2,…,Sn-1 и обратных к ним, например,

K1=S1S2-1S1S2-1S1S2-1., K3=S2S1S3-1S1-1S3S2-1S1S3S1-1S3-1.

Узел - замкнутая кривая без самопересечения, узел можно описать двумерной диаграммой.

Конечный набор замкнутых непересекающихся ориентированных ломаных в прост­ранстве называется зацеплением.

Два узла называются эквивалентными, если узел, сжимая, растягивая, двигая в пространстве (без разрывов и склеек), можно превратить в другой.

Главной проблемой теории узлов является поиск инварианта, препятствующего распутыванию.

Теорема.

Любой узел является замыканием некоторой косы.

Возьмём косу, изогнём её дугой и склеим конец с началом, получится узел. Но замыкание разных кос не всегда приводит - к разным узлам. Например, коса из трёх нитей не совпадает с косой из двух нитей, но при замыкании тоже даёт узел "трилистник"(рис.3).

рис.3

рис.4.