Теорема Рейдемейстера

Два узла эквивалентны тогда и только тогда, когда от диаграммы одного узла к диаграмме другого можно перейти с помощью конечного числа двумерных элементарных операций 1, 2, 3 (рис.4).

Можно ли по любой паре диаграмм узнать, эквивалентны узлы или нет, можно ли их распутать?

Оказывается можно, для каждого узла и зацепления можно построить соответствующий ему инвариант. Инварианты позволяют не только различать неодинаковые узлы и отличать узлы от незаузленных петель, но и классифицировать косы. По-разному деформированным вариантам одного и того же узла отвечает один и тот же инвариант; узлы, соответствующие разным инвариантам различны. Но два узла с одним и тем же инвариантом необязательно эквивалентны. Если инвариант узла не равен инварианту тривиального узла, то данный узел не может быть тривиальным и его нельзя распутать. Рассмотрим самые известные инварианты и вычислим их для некоторых зацеплений.

Многочлен Александера.

Этот многочлен был открыт американским математиком Александером в 1928 году. Он строится в соответствии с числом пересечений каждого вида, имеющихся на диаграмме узла. Например, узлу «трилистник» соответствует многочлен Δ_K(t)=t–1–1/t.

Многочлен Конвея

Р_L (х) - это многочлен от переменной х с целыми коэффициентами.

Теорема.

Для каждого узла или зацепления L полином РL(х) существует и однозначно определяет­ся следующими тремя аксиомами.

Аксиома 1.

Эквивалентным диаграммам L и L’ отвечает один и тот же полином: РL(х)=РL’(х).

Аксиома 2.

Тривиальному узлу отвечает по­лином, равный 1:Ро(х)==1.

Аксиома 3.

Трем зацеплениям L⁺, L-, L°, которые всюду одинаковы, кроме кружочка, где они выгля­дят так, как показано на рисунке 5, отвечают полиномы, связанные соот­ношением

РL+(х)-РL-(х)=х.РL0(х).

рис.5

Теорема.

Для распавшегося зацепления Р_L (х) =О.

Вычислим полиномы Конвея для некоторых узлов и зацеплений.

а) Для двух незацепленных окружностей.

L+- диаграмма тривиального узла с одной двой­ной точкой, L°- диаграмма двух незацепленных окруж­ностей. Из аксиом I и II следует, что РL+(х) = 1.

Если заменить двойную точку диаграммы L+на противоположную, а затем двойную точку уничтожить (аксиома III), то мы полу­чим диаграмму тривиального узла L-и пару незацепленных окруж­ностей L°.

По аксиоме III, получим РL+(х)-РL-(х)=х.РL0(х), 1—1=х.РL0(х), РL0(х)=0.

б) Для двух зацепленных окружностей (правое зацепление):

Применяя аксиому III к правой двойной точке, получаем диаграмму L-, эквивалентную паре незацепленных окружностей, и тривиальный узел (с одной двойной точкой) L°.

Используя аксиому I и предыдущий подсчет, получаем РL-(х)=0.

Затем по аксиомам I и II получаем РL0(х)=1.

Подставляя эти значения в соотноше­ние аксиомы III, получим РL+(х)=х. Для левого зацепления полином равен –х