Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

(4.2.7)

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

где – заданные функции.

(4.2.8)

Если , то уравнение (4.2.7) можно записать в приведенном виде:

,

где (f (x) – свободный член).

Будем предполагать, что коэффициент p (x) и свободный член f (x) уравнения (4.2.8) непрерывны на некотором интервале (a, b).

(4.2.9)

Для решения уравнения (4.2.8) искомую функцию y представляют в виде произведения

,

где u – некоторое ненулевое решение соответствующего однородного уравнения

(4.2.10)

,

а v – новая неизвестная функция.

(4.2.11)

Т.к. (получаем дифференцируя формулу (4.2.9))

,

то, подставляя выражения (4.2.9) и (4.2.11) в дифференциальное уравнение (4.2.8), получаем:

(4.2.12)

, т.е.

(4.2.13)

или, в силу (4.2.10), имеем:

.

Заметим, что фактически функция u подбирается так, чтобы коэффициент при v в уравнении (4.2.12) был равен нулю.

Из уравнений (4.2.10) и (4.2.13) последовательно находятся функции u и v, причем для u выбирается какое-нибудь конкретное решение, отличное от нуля. Подставляя полученные выражения для функций u и v в формулу (4.2.9), найдем искомую функцию y.

Примечание. На практике нет необходимости линейное уравнение (4.2.7) приводить к виду (4.2.8) – можно сразу применять подстановку (4.2.9).

Пример 4.2.3. Решить уравнение:

.

○ Полагаем , тогда , откуда при подстановке получаем:

,

,

.

Подбираем u такое, что

, т.е.

, откуда

,

,

.

Положим , получим

, откуда

.

Тогда и , откуда

,

,

.

. ●