|
приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.
|
.
Полагая здесь
,
где p – функция от y, получим дифференциальное уравнение первого порядка
,
где роль независимой переменной играет y.
Случай 2. Пусть правая часть дифференциального уравнения (4.3.6), явно не содержит у, т.е. уравнение имеет вид
|
Полагая
и ,
получим уравнение первого порядка
с неизвестной функцией р.
Пример 4.3.1. Решить уравнение
|
○ Согласно случаю 1 полагаем и . Тогда уравнение (4.3.9) примет вид
.
Отсюда: 1) p =0, т.е. у =С; или 2) , т.е. и
.
Потенцируя, будем иметь
, т.к. , то .
После интегрирования получаем
,
и, значит,
,
,
где и – произвольные постоянные.●
Пример 4.3.2. Найти решение уравнения
|
удовлетворяющее начальным условиям: и при .
○В уравнении (4.3.10) полагаем и . Тогда
|
|
,
или
|
Полученное уравнение – однородное[1], поэтому примем , .
Подставляя в уравнение (4.3.11), будем иметь
,
,
,
.
Интегрируя, получаем
и, следовательно, , т.е. и .
Для определения постоянной используем начальные условия: при . Получаем , т.е. =0 и, т.о.,
.
Отсюда имеем и
|
Постоянную определяем из начальных условий. Полагая и в формуле (4.3.12), получаем , т.е. =0. Следовательно, искомое частное решение есть . ●