Рассмотрим случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Как мы сейчас покажем, результирующее движение при этих условиях можно рассматривать гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.
Обозначим частоту одного из колебаний буквой , частоту второго колебания через . По условию . Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными . Поскольку частоты колебаний несколько отличны, всегда можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю.
Рисунок 4 - Биения и их переменная амплитуда
Практически это означает, что мы должны дождаться, пока смещения в обоих колебаниях достигнут одновременно наибольшего положительного значения, и в этот момент «запустить секундомер». Тогда уравнения обоих колебаний будут иметь следующий вид:
(t) = Аcosωt,
(t) = Аcos( ∆ω)(18)
Складывая выражения (18) и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем:
|
|
х(t) = + = (2Аcos t) cosωt.(19)
(во втором множителе пренебрегаем членом по сравнению с ).
А, м
A2
A1
ω,
Рисунок 5 - Спектр А(ω) биений
Заключенный в скобки множитель в формуле (19) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Ввиду условия за то время, за которое множитель совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (19) как гармоническое колебание частоты , амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в скобках, так как он изменяется в пределах от -2 а до +2 а, в то время как амплитуда по определению — положительная величина. График амплитуды показан на рис. 3,б. Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид:
(20)
Функция (20) — периодическая функция с частотой, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля, т. е. с частотой . Получаем, частота пульсаций амплитуды — ее называют частотой биений — равна разности частот складываемых колебаний.
Отметим, что множитель не только определяет амплитуду, но и влияет на фазу колебания. Это проявляется, например, в том, что отклонения, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки.