2018-01-08
380
необходимо перейти к дискретному ряду.
Пример 3 (условный):
Интервальный ряд Дискретный ряд 3-7 5 (3+7)/2 7-11 9 11-15 13 15-19 17 19-23 21
Средняя гармоническая применяется для обобщения обратных
значений варьирующего признака. Может быть простой и взвешенной.
Формула простой:
х
=
n ∑
1 x
i
;
Формула взвешенной:
х =
∑
w ∑
x w
i
,
где w – общий объем признака; т. е. w=∑x
i
*f.
Пример 4,
Таблица 3 – Данные о валовом сборе и урожайности сахарной свеклы по группе районов Орловской области за 2000 год Наименование районов Валовой сбор, тыс. ц Урожайность, ц/га Должанский 360 360,1 Верховский 185 299,4 Ливенский 1318 342,6 Краснозоренский 106 221,0 Новодеревеньковский 400 497,4 Всего 2369 х
х = 360 360,1 ∙ 299,4 185 2369
∙ 342,6 1318 ∙ 106 221 ∙
497,4 400
=
ц/га
Следовательно, средняя урожайность сахарной свеклы по данным
районам составила 351 ц/га.
7 Средняя гармоническая используется:
1. когда известны значения признака и его общий объем;
2. для определения средней заработной платы, если даны общий объем
заработной платы и средняя зарплата одного работника;
|
|
|
3. для определения средней цены реализации по видам продукции, если
известны выручка от реализации и цена реализации каждого вида продукции;
4. для определения средней себестоимости, если известна себестоимость
1 ц продукции и общие затраты на производство продукции.
Средняя геометрическая используется для расчетов среднегодового
темпа роста в динамических рядах по формуле:
х
x
, 0
где х
n
= n
- x
n
– конечный уровень ряда;
х
0
– начальный уровень ряда;
n – число уровней.
Пример 5,
Таблица 3 – Данные об урожайности зерновых культур в Орловской
области
Годы Урожайность зерновых культур, ц/га
2001 22,9 2202 27,0 2003 24,5 2004 23,3 2005 24,0 2006 24,1
х
= 6 -
22,9 24,1
= 1,01
или 101%.
Следовательно, среднегодовой прирост урожайности зерновых культур
в Орловской области с 2001 по 2006 год составил всего 1%.
8 Средняя квадратическая используются для расчета показателя
вариации среднего квадратического отклонения, и может быть простая и
взвешенная:
Простая х
=
x
n i 2
,
Взвешенная х
=
fx
i 2
∙ ∑
f
,
Средняя хронологическая используется при определении среднего
уровня в динамическом моментном ряду:
х
х
=
х 2 1
+
х
32 + n
х -
+...
+ n 2
,
где х – варианта;
n – число вариант.
Пример 6, определить среднее поголовье скота за год в
сельскохозяйственном предприятии по следующим данным:
на 1 января 2007 г. поголовье КРС составило 1100 голов; на 1 апреля
2007 г. – 1150 голов; на 1 июля 2007 г. – 1130 голов; на 1 октября 2007 г. –
1135 голов; на 1 января 2008 г. – 1110 голов.
1 х = 2
1150 1130 -
1130 ∙
+ + 1135 1110 ∙ 15
= = + + 2
голов.
|
|
|
Следовательно, в данном сельскохозяйственном предприятии
среднегодовое поголовье КРС составило 1130 голов.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СРЕДНЕЙ
АРИФМЕТИЧЕСКОЙ
Средняя арифметическая обладает следующими свойствами, которые
важны как для понимания сущности средней, так и для упрощения его
расчетов:
1. произведение средней величины на сумму частот всегда равно сумме
произведений вариантов на соответствующие им частоты:
х
∙ ∑ f = ∑ (fx i ∙) Пример 7,
Таблица 4 –Данные об урожайности сахарной свеклы по группе
хозяйств
No п/п Урожайность,
ц/га (х
i
Площадь, га (f) 1)
св-во х i
∙f
i
2 x
свойство (i
fx)
3 свойство 4 свойство x′ x i
∙′
f
x =′
х a
5 свойство fx ∙′ fh∙ x i
∙
hf ∙ 1 170 200 34000 -32,7 -6540 150 30000 8,5 1700 400 68000 2 210 400 84000 7,3 2920 190 76000 10,5 4200 800 168000 3 150 300 45000 -52,7 -15110 130 39000 7,5 2250 600 90000 4 300 200 60000 97,3 19460 280 56000 15,0 3000 400 120000 Итого х 1100 223000 х 0 х 201000 х 11150 2200 446000
7,202
x -
x - i
i
х
=
∑
∑ х
i
f ∙
f =
= ц/га 11007,202 ∙ = 223000.
2. алгебраическая сумма отклонений вариант, как от средней
арифметической простой, так и от средней арифметической взвешенной,
равна 0.
∑ (х i
- x)
0= ∑ (х i
- fx) ∙ 0= 3. если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же
число а, то средняя увеличится или уменьшится на это же число.
х
=
∑
(х
i ∑
±
fa) ∙ f
=
∑
fx i ∙ ∑
f
±
fa
∙
∑ ∑
f
=
ax ± Возьмем а=20 и уменьшим урожайность на эту сумму, тогда
х
′
=
∑
∑
fx
i
′
f
∙
=
201000 1100
= 7,182
182,7 < 202,7 на 20.
4. если все варианты ряда уменьшить или увеличить в одно и тоже число
а, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз
х ′
=
∑
хi a
∙
f
∑
f
=
a
Также возьмем а=20, уменьшим урожайность в 20 раз, тогда
136,10
x
х
′
=
∑
∑
fx
i
′
f
∙
=
= 10,136 < 202,7 в 20 раз.
5. если все частоты f отдельных вариант умножить или разделить на
определенное число h, то средняя не изменится
х
=
∑
х
i
∙ ∑
hf
hf ∙ ∙
=
fxh
∙
∑ i ∙ fh
∙
∑
.
Возьмем h=2 и увеличим площадь в 2 раза, тогда
х
=
∑
∑
fx
i
f ∙
=
446000 2200
= 7,202
202,7=202,7.
Расчет среднего уровня способом момента изучить
самостоятельно.
СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ
Для описательной характеристики вариационного ряда, используются
структурные средние величины: мода и медиана. Эти виды средних величин
характеризуют структуру совокупности.
Медиана (Ме) – это варианта, которая делит ряд на две равные части.
Медиана правильнее отражает уровень признака, чем средняя
величина. В дискретном ряду медиана это середина ряда. При чем, если в
ранжированном ряду число вариант нечетное, то медианой является варианта
расположенная в середине ряда.
Пример 8,
Размер обуви 35 36 37 38 39
Ме=37 размер.
При четном числе вариантов, медиана находится как средняя величина
между двумя вариантами, расположенными в середине.
Пример 9,
Размер обуви 35 36 37 38 39 40
Ме= 3837
+ 2
=
5,37
размер.
В дискретном вариационном ряду медианой является варианта, на
которую приходится полусумма накопленных частот.
Пример 10,
Размер обуви 35 36 37 38 39 40 Итого Реализовано пар
10 24 36 50 30 6 156
∑ f 2
=
156 2
= 78
Ме=38 размер. 50% обуви реализовано до 38 размера, остальные 50%
38 размер и более.
12 В интервальном ряду медиана определяется по следующей формуле: ∑
,
где Ме – медиана;
х
0
f
Ме
х h = 0
+ ∙ 2
-
S
m
-
f
m
– нижняя граница медианного интервала;
h – величина медианного интервала; ∑ f 2
– полусумма накопленных частот;
S
m-1
– сумма накопленных частот предшествующих медиане;
f
m
– частота медианного интервала.
Медианный интервал – это интервал, на который приходится
полусумма накопленных частот.
Пример 11,
Таблица 5 – Данные специального обследования влажности зерна
Влажность зерна, %
|
|
|
Число проб
накопленных Сумма
частот
Расчетные величины
x
i
∑x
i ∙f xx i
- x i
-
fx
∙ (xx
i
)2
(fxx
i
)
2-4 38 38 3 114 -5,72 217,36 32,72 1243,36 4-6 62 100 5 310 -3,72 230,64 13,84 858,08 6-8 70 170 7 490 -1,72 120,40 2,96 207,20 8-10 150 320 9 1350 0,28 42,00 0,08 12,00 10-12 89 409 11 979 2,28 202,92 5,20 462,80 12-14 75 484 13 975 4,28 321,00 18,32 1374,00 Итого 484 х х 4228 х 1134,33 х 4157,44
Полусумма накопленных частот: 2
-
- ∙ ∑ 2 f
,
тогда медианный интервал от 8 до 10.
%96,8
= = Ме
= 28 + ∙ 242
-
170 =
Вывод: 50% всех проб имеют влажность зерна до 8,96%, а остальные
8,96% и более.
Мода (Мо) – это варианта, имеющая наибольшую частоту.
Поэтому в дискретном ряду ее легко определить. В примере 10 Мо=38
размер, так как по этому размеру реализовано больше всего пар.
В интервальном ряду мода выражается следующей формулой:
Мо
=
х + h ∙ (ff
-
mm
) (mm)
где х
0
mm
-
1 ff
-
-
+ ff - + 1,
– нижняя граница модального интервала;
h – величина модального интервала;
f
m
– частота модального интервала;
f
m-1
– частота интервала, предшествующего модальному;
f
m+1
– частота интервала, следующего за модальным.
Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту.
Определим модальный размер урожайности зерновых культур по
данным таблицы 5.
M
= 28
+ 70150
- (70150
-
) + (89150 -)
=
%14,9
Вывод: Наиболее часто встречается влажность зерна – 9,14%.
ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
Рассматривая зарегистрированные в процессе статистического
наблюдения величины того или иного признака у отдельных единиц
совокупности, можно обнаружить между ними различия.
Колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у
единиц совокупности называется вариацией. Например, вариация студентов
по экзаменационной оценке, возрасту.
Вариация – это изменчивость величины признака у единиц, входящих
в состав совокупности, в один и тот же период времени или момент времени.
В средней величине находит отражение то общее, что свойственно
всем единицам совокупности, но каждой единице свойственны и
индивидуальные особенности, которые ведут к отклонениям от среднего
уровня, поэтому изучение отклонений от средней, их причины
|
|
|
представляют собой большой интерес.
!
Исследование вариации в статистике и социально-экономических
исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации
признака в статистической совокупности характеризует ее
однородность.
В статистической практике для изучения и измерения вариации
