Метод конечных разностей

Лабораторная работа №2

Анализ температурного поля пластины в зависимости от ее теплофизических свойств

 

 

Преподаватель ________ Е.Б. Истягина

подпись, дата инициалы, фамилия

 

Студент ФЭ17-01М071625402 _________ А.В. Гурьева

номер группы зачетной книжки подпись, дата инициалы, фамилия

 

 

Красноярск 2017

Задание

Дана бесконечная пластина, температура которой везде одинакова и равна . Известны теплофизические свойства материалов пластины: температуропроводность a, коэффициент теплопроводности . Толщина платины L и время нагрева также заданы. В начальный момент времени под воздействием тепловых условий на поверхности и пластины формируется нестационарные процессы. Требуется найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени: °С; ; L=м; сек; ; С = 500 Дж/(кг·°С)

Необходимость решения задач нестационарного теплообмена встречается во многих практических ситуациях. При различных процессах обработки материалов и полуфабрикатов требуется, чтобы продукт нагревался или охлаждался во время его производства. Топки нагревательных агрегатов и печи работают циклично, и при этом происходят нестационарные изменения температуры их содержимого и стенок печи. Часто нагревают и охлаждают металлы, чтобы получить требуемые физические свойства, суточные и сезонные изменения температуры претерпевают здания и технологические конструкции. Задача о переносе тепла в неограниченной пластине L с начальным распределением температуры t0 и граничными условиями на левой (х = 0) и правой (х = L) поверхностях пластины описывается следующими уравнениями.

Уравнение теплопроводности имеет вид

(1)

Граничные условия на поверхностях пластины могут быть 1-го рода:

2-го рода:

(2)

или 3-го рода:

Исходными данными являются: толщина пластины L, теплопроводность материала пластины , температуропроводность а, коэффициент теплоотдачи α, начальная температура ; массивы координат и моментов времени , для которых требуется вычислить температуру, и число интервалов разбиения (N–1) отрезка [0, L].

Дифференциальное уравнение (1) с граничными условиями (2) и начальными (3) однозначно формулирует поставленную задачу. Размерные физические величины, входящие в задачу (1)–(3), можно объединить в безразмерные комплексы, причем так, что число комплексов будет меньше числа величин, входящих в задачу. Это упрощает исследование физических процессов. Кроме того, новые безразмерные переменные отражают влияние не только физических связей в исследуемом процессе. Полученные результаты могут быть обобщены на другие явления, подобные данным. Приведем к безразмерному виду задачу (1)–(3). Это может быть осуществлено различными способами. Воспользуемся широко известным, вследствие своей простоты и наглядности, приемом.

Введем безразмерную температуру , где - определяющая температура, выбираемая из физических соображений, и – безразмерную координату. Тогда (1) запишется в виде

или

где - – критерий, или число Фурье. С учетом этого выражения (1) преобразуется к безразмерному виду

(1’)

Аналогично приводят к безразмерному виду краевые условия (2)–(3). Например, для граничных условий 3-го рода имеем

или

(2’)

где - критерий Био

Начальное условие представляется в виде равенства:

(3’)

Таким образом, краевая задача (1)–(3)сводится к виду ()–(), и решение последней осуществляется относительно неизвестной переменной θ при двух независимых: X и .

Метод конечных разностей

При решении дифференциальных уравнений в частных производных наиболее часто используется метод конечных разностей. Вместо производных в дифференциальном уравнении используется их конечно- разностная аппроксимация. При этом твердое тело представляется в виде совокупности узлов. Заменяя частные производные конечными разностями, получают систему линейных алгебраических уравнений для определения температуры в каждом узле выбранной сетки. Полученная система замыкается разностным представлением граничных условий и решается численным методом относительно неизвестной функции.