Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК)

1 2 3 4 5 6

Процедура применения КМНК состоит из следующих этапов:

1. Структурная модель преобразуется в приведенную форму модели.

2. Для каждого уравнения модели приведенной формы обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты ().

3. Коэффициенты приведенной формы модели преобразуются в коэффициенты структурной модели.

Рассмотрим применение КМНК на примере следующей идентифицируемой эконометрической модели:

Для построения этой модели используем следующие данные по пяти регионам:

Регион	у₁	у₂	х₁	х₂





Средние		6,2	2,4	3,4

Приведенная форма исходной модели имеет вид:

где u ₁и u ₂- случайные ошибки приведенной формы модели.

Для каждого уравнения приведенной формы модели применим обычный МНК и определим его коэффициенты. В качестве значений эндогенных и экзогенных переменных будем использовать их отклонения от средних уровней, т. е. = и = .

Для первого уравнения приведенной формы система нормальных уравнений имеет вид:

Используя отклонения переменных от их средних уровней, получим:

Решая данную систему методом определителей, построим первое уравнение приведенной формы модели:

; ; ;

; ;

Аналогично, применив МНК для второго уравнения приведенной формы модели, получим:

Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:

Перейдем от приведенной формы модели к ее структурной форме, т. е. к исходной системе уравнений:

Из первого уравнения приведенной формы модели исключим фактор х₂. Для этого выразим его во втором уравнении через х₁ и у₂:

Подставим выражение для х₂ в первое приведенное уравнение:

Значит, первое структурное уравнение имеет вид:

Чтобы найти второе уравнение структурной модели, из второго уравнения приведенной формы модели исключим х ₁, выразив его в первом уравнении через х₂ и у₁ и подставив во второе уравнение:

Значит, второе структурное уравнение имеет вид:

Таким образом, система структурных уравнений имеет вид:

Эту же систему можно записать, включив в нее свободный член уравнения. Для этого необходимо перейти от переменных в виде отклонений от среднего уровня к исходным переменным у и х.

Свободные члены уравнений определим по формулам:

Тогда структурная модель имеет вид:

Если к каждому уравнению структурной формы модели применить обычный МНК, то результаты будут значительно отличаться:

Обычный МНК, примененный к каждому уравнению структурной формы модели, взятому в отдельности, дает смещенные оценки структурных коэффициентов. Так, уравнение регрессии , построенное обычным МНК, показывает, что с ростом х ₁ на одну единицу значение у ₁ возрастает в среднем на 1,192 ед. при неизменном уровне значения у₂. Между тем в соответствии с системой одновременных уравнений переменная у₂ не может быть неизменной, ибо она в свою очередь зависит от у ₁.