Теорема Кориолиса(теорема о сложении ускорений)

Найдем зависимость между относительным, переносным и абсолютным ускорениями точки. Из равенства получим

 

Производные здесь определяют изменение каждого из векторов при абсолютном движении. Эти изменения слагаются в общем случае из изменений при относительном и при переносном движениях, что ниже будет непосредственно показано. Следовательно, если условится изменения, которые векторы и получают при относительном движении, отмечать индексом «1», а при переносном движении индексом «2», то равенство (*) примет вид

Но по определению относительное ускорение характеризует изменение относительной скорости только при относительном движении, движение осей Oxyz, т. е. переносное движение при этом во внимание не принимается. Поэтому

В свою, очередь, переносное ускорение характеризует переносной скорости, только при переносном движении, , где m- точка, неизменно связанная с Oxyz и, следовательно, получающая ускорение только при движении вместе с этими осями, т. е. при переносном движении. Поэтому

В результате из равенства получим

Введем обозначение

Величина , характеризующая изменение относительной скорости точки при переносном движении и переносной скорости точки в ее относительном движении, называется поворотным, или кориолисовым, ускорением точки. В результате равенство (+) примет вид

Последняя формула выражает следующую теорему Кориолиса о сложении ускорений: при сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и поворотного, или кориолисова.

Найдем для вычисления формулу, вытекающую из равенства (**). При этом, рассматривая общий случай, будем считать переносное движение, т. е. движение подвижных осей Oxyz, а с ними и кривой (см. рис. 1)

слагающимися из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращения вокруг этого полюса с угловой скоростью , называемой переносной угловой скоростью. Величина от выбора полюса не зависит и на изображенных рис. 1, где полюс точка m, и рис. 2, где полюс О, имеет одно и то же значение.

 

Рис. 1

Начнем с определения

При рассматриваемом переносном движении вектор , направленный по касательной к кривой АВ переместится вместе с этой кривой поступательно (придет в положение рис.1) и одновременно повернется вокруг точки m₁ до положения . В результате вектор получил в переносном движении приращение , где - скорость, которой перемещается точка b при повороте вектора вокруг точки m₁. Так как этот поворот происходит с угловой скоростью , то . В результате и

Теперь определим . Скорость равна скорости той неизменно связанной с подвижными осями точки m кривой АВ, с которой в данный момент времени совпадает точка m (рис.2)

 

Если точку О принять за полюс и обозначить через вектор , то . Совершив за промежуток времени dt относительное перемещение , точка придет в положение M’, для которого и

Следовательно, вследствие того, что точка совершает относительное перемещение , вектор получает приращение

Откуда

Рис.2

Подставляя величины и в равенство получим

Таким образом, кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости (угловой скорости подвижной системы отсчета) на относительную скорость точки.