Поняття відношення. Властивості відношень. Способи задання відношень

Відношенням (n-місним відношенням) в теорії множин називається підмножина декартового степеня Mn деякої множини M. Кажуть також, що елементи a1,a2,...,an∈M знаходяться у відношенні R, якщо кортеж (a1,a2,...,an)∈R.

До відношень можна застосовувати теоретико-множинні операції і алгебру множин.

Поняття відношення є певним теоретико-множинним узагальненням відомого з елементарної арифметики набору таких відношень, як "=" (дорівнює) або "<" (менше). Поняття відношення і операцій з ними в практичних застосуваннях грає ключову роль в побудові реляційних моделей систем управління базами даних.

В математичній літературі часто не розрізняють поняття відношення та відповідності між множинами (тобто, в такому випадку, відношення можуть мати місце між різними множинами). В цій енциклопедії поняття відношення на множині та відношення між множинами (відповідності між множинами) розрізняються, якщо інше не вказано окремо.

Для задання відношень можна користуватись тими ж способами, що і при

заданні множин. Наприклад, якщо множина M скінченна, то довільне

відношення R на M можна задати списком пар елементів, які знаходяться у

відношенні R.

В математиці бінарне відношення R на множині X є рефлексивним, якщо для кожного a ∈ X виконується aRa, тобто

Властивість рефлексивності: матриця рефлексивного відношення характеризується тим, що всі елементи головної діагоналі рівні 1; граф — тим, що при кожен елемент має петлю — дугу (х, х).

Якщо ця умова не виконана ні для якого з елементів множини , тоді відношення називається антирефлексивним.

Якщо антирефлексивне відношення задано матрицею, то всі елементи її головної діагоналі дорівнюють нулю. Граф такого відношення характеризується тим, що не має жодної петлі — немає дуг вигляду (х, х).

Формально антирефлексивність відношення визначається як: .