Язык логики предикатов второго порядка 1 страница

В логике предикатов первого порядка можно выражать утверждения лишь о свойствах индивидов и об отношениях между индивидами, но не о самих свойствах и отношениях. Например, при по строении исчисления предикатов - системы натурального вы во да - говорилось о том, что отношение «отмечает» является транзитивным: если отмечает , и отмечает , то отмечает . Транзитивность можно описать так:

Здесь - предикаторная переменная. Предикаторные переменные, как и функциональные переменные, имеются в языке логики предикатов второго порядка.

Символы языка логики предикатов второго порядка:

а) - индивидные константы;

б) - индивидные переменные;

в) - k-местные предметные функторы, знаки k-местных предметных функций (k = 1, 2, 3,...);

г) - k-местные предметно-функциональные переменные, (k = 1, 2, 3,...);

д) - k-местные предикаторные символы, или k-местные предикаторы (k = 1, 2, 3,...);

е) - k-местные предикаторные переменные (k = 1, 2, 3,...);

д) - логические термины;

е) - логические термины;

ж) (,) - скобки;

з), - запятая.

Определение терма:

а) индивидные константы и индивидные переменные являются термами;

б) если - термы, а - k-местный предметный функтор или k-местная предметно-функциональная переменная, то выражение является термом;

в) ничто иное не является термом.

Определение ППФ:

а) если - термы, а - k-местный предикатор или k-местная предикаторная переменная, то - ППФ;

б) если А и В - ППФ, а - индивидная или предметно-функциональная, или предикаторная переменная, то - ППФ;

в) ничто иное не является ППФ.

Пример формулы.

- для каждого предмета существует свойство, которым предмет обладает.

ГЛАВА VI. ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

В отличие от дедуктивных умозаключений, в которых между посылками и заключениями имеет место отношение логического следования, индуктивные умозаключения представляют собой такие связи между посылками и заключениями по логическим формам, при которых посылки лишь подтверждают заключение. Отношение подтверждения обозначается символом «». Выражение «Г В» читается: (непустое) множество высказываний Г подтверждает высказывание В (из Г индуктивно следует В). Если высказывания Г истинны, то степень правдоподобия В при наличии Г выше, чем при oтсутствии Г.

Дедуктивная логика (учение о дедуктивных умозаключениях) -1 это логика формальная, т.е. логика, в которой исследуются связи между высказываниями (понятиями и т.д.) по их логическим формам. Индуктивная логика (учение об индуктивных умозаключениях) - тоже формальная логика, поскольку отношение подтверждения - это отношение между высказываниями по их логическим формам. Вместе с тем индуктивная логика не является только формальной логикой. В процессе индуктивных рассуждений обычно используются специальные методологические средства, повышающие степень правдоподобия заключений.

В зависимости от типа методологических средств, применяемых в индуктивных рассуждениях, индуктивные умозаключения делятся на два вида: ненаучную (популярную) индукцию и научную. В процессе ненаучной индукции применяется методология здравого смысла или же не используются никакие методологические средства. В процессе научной индукции применяется специальная научная методология.

Индуктивная логика, как и дедуктивная, начала формироваться в Древней Греции. По свидетельствам древних авторов, не дошедшее до нас сочинение Демокрита «Канон», или «О логике», содержало элементы индуктивной логики. Индуктивную логику разрабатывали Сократ, Платон и Аристотель. Индукция по Сократу - это, способ уточнения понятий этики, заключающийся в следующем: берется первоначальное определение какого-либо понятия, например понятия «мужество», анализируются различные случаи употребления данного понятия; если этот анализ приводит к необходимости уточнить понятие, то оно уточняется, затем процедура повторяется. Платон понимал под индукцией так называемую обратную дедукцию: если А |= В, то В А (если из А следует В, то В подтверждает А). Аристотель - обобщающую индукцию, т.е. переход от знания о некоторых предметах класса к знанию о всех предметах класса. В «Топике» Аристотель писал: «Наведение... есть восхождение от единичного к общему. Например, если кормчий, хорошо знающий свое дело, - лучший кормчий, и точно так же правящий колесницей, хорошо знающий свое дело, - лучший, то вообще хорошо знающий свое дело в каждой области - лучший» .

В Средние века индукция практически не разрабатывалась, поскольку на первый план выдвигалось изучение способов выведения знаний из других знаний. Зарождение буржуазного способа производства в недрах феодального общества сделало необходимостью развитие техники, которое не могло осуществляться без развития опытной науки. Великие представители эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452-1519), Коперник (1473-1543) и другие призывали переходить от истолкования книг к истолкованию природы.

Бурное развитие опытного естествознания в эпоху Возрождения и Новое время обусловило разработку индуктивной логики. В книге «Новый Органон» Ф. Бэкон (1561 - 1626) заложил основы так называемых методов установления причинной связи между явлениями, создав «таблицы открытия». Идеи, высказанные Ф. Бэконом, развили Гершель (1792-1871) и Дж. Ст. Милль (1806-1873). Методы установления причинных связей между явлениями обычно называют методами Бэкона - Милля. Существенный вклад в разработку индукции внесли русские логики М.И. Каринский (1840-1917) и Л.В. Рутковский (1859-1920).

В рамках современной логики проблемы индукции разрабатываются с использованием теории вероятностей.

Основными видами индуктивных умозаключений являются: обратная дедукция, обещающая индукция (статистические и нестатистические умозаключения), методы установления причинных связей между явлениями, умозаключения по аналогии.

7.1.

§ 1. Обратная дедукция

Обратная дедукция заключается в следующем. Требуется обосновать высказывание А. Устанавливается, что из А следует каждое из высказываний или, что то же самое, следует конъюнкция этих высказываний. При этом А не является логически ложным, а не являются логически истинными. Делается вывод, что высказывания подтверждают высказывание А. То есть:

(| читается «не доказуемо», или «не следует»).

Например, А - суждение «Иванов совершил это преступление» Из А и некоторой совокупности суждений Г следует суждение В - «Иванов знал местонахождение похищенных вещей». В этом случае можно сделать вывод о том, что высказывание В подтверждает высказывание А при наличии Г.

Методологическими требованиями, повышающими степень правдоподобия вывода (индуктивного) посредством обратной дедукции, являются следующие:

1) необходимо находить разнообразные следствия, поскольку разнообразные следствия подтверждают утверждение в большем степени, чем однообразные;

2) необходимо находить наиболее сильные следствия. Если А |= В, А |= С и В |= С, а С | В, то следствие В является более сильным, чем А, и подтверждает А в большей степени;

3) необходимо выводить «неожиданные» следствия. Если А |= В, и В без А мало правдоподобно, а вместе с А весьма правдоподобно, то А при наличии В весьма правдоподобно.

Существует метод установления степени подтверждения высказывания другими высказываниями посредством таблиц истинности. При описании этого метода вводится понятие вероятности высказывания. Различают априорную (до опытную) и апостериорную (опытную) вероятности. Априорная вероятность высказывания определяется так. Пусть дана формула . Строим для нее таблицу истинности:

Вероятность истинности соответствующего высказывания, т.е. высказывания данной формы, равна отношению числа строк, в которых формула истинна, к числу всех строк таблицы, т.е. отношению числа благоприятствующих случаев (m) к общему числу случаев (n) - 1/4 (m/n).

Поскольку из следует А, то А подтверждает . Относительная вероятность высказывания определяется так. Устанавливается вероятность указанного высказывания при условии истинности высказывания А, т.е. устанавливается степень подтверждения исходного высказывания высказыванием А. Для этих высказываний строятся сравнимые таблицы истинности.

Вычеркиваются те строки, в которых высказывание А ложно, т.е. предполагается, что получена информация об истинности А.

Вероятность высказывания Обозначение: (Читается: вероятность при А.)

Возможны такие случаи. РВ/А>РВ, РВ/А <РВ, РВ/А = РВ. Этим случаям соответствуют следующие отношения между высказываниями: положительная релевантность, отрицательная релевантность, отсутствие релевантности. Подтверждают ли высказывание А высказывания A В и В? Строим сравнимые таблицы истинности.

То есть релевантность отсутствует.

На основе знания вероятности высказываний можно подсчитывать относительную вероятность так: . (Здесь последнее двоеточие - знак деления.)

т.е. имеет место позитивная релевантность.

Каково отношение между высказыванием А и высказываниями Релевантность отсутствует.

Отношение является отрицательной релевантностью, поскольку так как

7.2.

§ 2. Обобщающая индукция

Обобщающая индукция - это умозаключение, в котором осуществляется переход от знания о подклассе класса к знанию о классе в целом, или от знания об отдельных предметах класса к знанию о всех предметах класса.

Статистическая индукция. Статистическая индукция заключается в переносе относительной частоты появления признака с некоторого класса на более широкий класс.

В случае статистической индукции исследуются случайные массовые явления, т.е. явления, отдельные составляющие которых непредсказуемы, но предсказуемы некоторые числовые пропорции целого.

Примеры случайных массовых явлений.

Дождь. Дождь можно рассматривать как явление, состоящее из большого числа событий - выпадений дождевых капель. В поведении отдельных дождевых капель есть нечто случайное, а именно непредсказуемость. В то же время поведение дождя в целом в определенном смысле предсказуемо. Представим себе такую ситуацию, Начинается дождь. Мы смотрим на два камня одинаковой площади - левый и правый. В последовательности выпадения дождевых капель нет никакой закономерности, но при длительном наблюдении все же можно установить, что на оба камня выпадает одинаковое число капель. Таким образом, дождь - случайное массовое явление, которое предсказуемо в числовых пропорциях целого, но непредсказуемо в отдельных событиях.

Рождение мальчиков. Пусть в каком-то городе дети регистрируются в том порядке, в каком они рождаются: МДДМММДМДДМ... В течение месяца родилось 806 мальчиков, а всего детей родилось 1602. 806 - частота рождения мальчиков, а 806/1602 относительная частота рождения мальчиков. В общем случае, если событие произошло в m случаях из n, то m - частота события, а m/n - относительная частота события. Относительная частота события А обозначается f(A).

При большом числе наблюдений и, кроме того, в особых случаях при выполнении специальных методологических требований относительная частота во многих случаях оказывается неизменяемым числом. Тогда она называется устойчивой относительной частотой, или (апостериорной) вероятностью события.

Нередко относительная частота появления некоторого события устанавливается путем исследования всех событий, составляющих изучаемое явление. Например, относительная частота рождения мальчиков в некотором городе за один год может быть равной 2602/5244. Большинство людей, работающих в статистических учреждениях, занимаются «сплошными» исследованиями конечных классов событий. Иногда «сплошное» исследование является единственным методом, обеспечивающим получение достоверного знания о явлении. Однако такой метод исследования имеет и недостатки: (1) на его основе можно исследовать только конечные классы событий; (2) исследование этим методом больших конечных классов часто требует значительных материальных затрат, а иногда практически невозможно.

В тех случаях, когда исследуемые классы событий бесконечны, когда «сплошное» исследование связано с большими затратами или практически невозможно, а также когда требуется предсказать события, которые еще не наступили, и в некоторых других случаях применяется статистическая индукция.

Пример статистичеcкой индукции. В городе имеется 1864 автомобиля в личном пользовании. В течение года правила дорожного движения нарушили 134 владельца этих автомобилей. Тогда относительная частота нарушений равна 134/1864. Предполагается, что через 5 лет в городе число автомобилей, находящихся в личном пользовании, увеличится до 3000. Каково ожидаемое число владельцев, которые будут нарушать правила дорожного движения? Если предположить, что относительная частота не изменится, то ожидаемое число равно 3000 134/1864, т.е. 210.

Схема статистической неполной индукции такова:

Очевидно, что заключение, получаемое посредством статистической индукции, может оказаться ложным. Для повышения степени правдоподобия заключения используется специальная методология. Статистическая индукция в таком случае является научной, в отличие от ненаучной, не использующей этой методологии.

Перечислим методологические требования, соблюдение которых необходимо при применении статистической индукции.

1. Статистическую индукцию правомерно применять при исследовании предметов, объединенных в одно целое по общим признакам, целям и т.д. Пусть, например, исследованию подлежат психические особенности людей (свойство А), совершивших преступления. В этом случае первое требование не будет нарушено. Обозначим выделенную группу людей (множество людей, совершивших преступления) буквой К.

2. Свойство, по которому образован класс К, должно зависеть, по крайней мере гипотетически, от переносимого свойства (от свойства А). В нашем случае второе требование не соблюдено, поскольку совершение преступления не обязательно зависит от психических особенностей. Следовательно, нужно ограничить группу К, например исследовать группу К' - людей, совершивших преступление в состоянии сильного душевного волнения (аффекта). Этот класс называется генеральной совокупностью.

3. Выбор подкласса класса К' (подкласса S) для исследования должен производиться не по переносимому свойству, т.е. подкласс S (он называется выборочной совокупностью, или выборкой) следует образовывать не по психическим особенностям людей.

4. Отбор в множество S следует осуществлять так, чтобы представители всех подклассов генеральной совокупности, образованных по признакам, от которых может зависеть (по крайней мере гипотетически) переносимый признак, имели возможность попасти в выборку. Например, должны быть охвачены все возрасты правонарушителей, все географические области, все категории по образованию, по образу жизни, по профессиям и т.д.

5. При отборе предметов для исследования из образованных подклассов генеральной совокупности следует соблюдать принцип пропорциональности, т.е. из большего класса отбирать большее число предметов.

Четвертое и пятое методологические требования можно проиллюстрировать графически:

1-8 - подклассы генеральной совокупности. Подклассам, включающим большее число предметов, соответствуют сектора большей площади. Заштрихованным кругом обозначены поверхности, соответствующие предметам, входящим в выборку.

Если отдельно начертить заштрихованный круг, то полученная фигура окажется подобной исходной, разделенной на части.

Третий, четвертый и пятый принципы иначе можно сформулировать так: представители для исследования должны быть полномочными

6. Выделив подклассы, из которых следует производить выборку, нужно правильно установить число объектов, подвергаемых исследованию. Так называемый «закон больших чисел», играющий важную роль в статистике, гласит: закономерности, которым подчиняются случайные массовые явления, могут быть обнаружены лишь при достаточно большом числе наблюдений.

7. Перенос свойства с подкласса на весь класс следует осуществлять с осторожностью, т.е. при переносе учитывать возможность неточностей, поскольку рассуждение является индуктивным.

При выполнении указанных общелогических, а также и частно-научных требований степень правдоподобия вывода повышается.

В рассматриваемом примере, установив связь между совершением некоторых видов преступлений и особенностями психики, можно рекомендовать методы воспитания лиц определенных психических складов с целью предупреждения преступлений.

Нестатистичекая индукция. Различают полную и неполную нестатистическую индукцию. Полная индукция - это умозаключение от знания об отдельных предметах класса к знанию о всех предметах класса, предполагающее исследование каждого предмета этого класса. Умозаключение от знания лишь о некоторых предметах класса к знанию о всех предметах класса называется неполной индукцией.

Схема, общая для полной и неполной индукции:

Если (множества и К равны), т.е. если известно, что исследован каждый предмет класса К, то рассуждение по соответствующей схеме является полной индукцией. Фактически это дедуктивное умозаключение . Если же множество включается в К и в K есть элементы, которые не входят в , то имеет место неполная индукция.

Как и статистическая индукция, неполная нестатистическая индукция бывает ненаучной (популярной, или индукцией через простое перечисление) и научной. При ненаучной индукции может использоваться методология здравого смысла, заключающаяся в применении следующих принципов: (1) исследовать как можно больше предметов; (2) разнообразить выбор предметов для исследования. Например, при опросе студентов с целью выяснения - освоили они ту или иную тему или нет, в соответствии с методологией здравого смысла нужно опросить как можно больше студентов разных категорий. Соблюдение этих требований несколько повышает степень правдоподобия заключения, но не позволяет считать заключение достаточно правдоподобным.

Неполная научная индукция бывает двух типов: индукция через отбор случаев, исключающих случайные обобщения, называемая индукцией через отбор, и индукция, вывод которой подкрепляется посредством специальных рассуждений, которые излагаются ниже. Разновидностями неполной научной индукции второго типа являются индукция на основе общего и математическая индукция.

В процессе применения индукции через отбор, если исследуемое множество предметов имеется в наличии (например, исследуется такое свойство студентов коммерческого вуза, т.е. вуза, где обучение платное и владелец склонен к быстрому зарабатыванию денег, как умение читать), рекомендуется выполнять следующие методологические требования.

1. Как и в случае статистической индукции, должны исследоваться не любые множества предметов, а те, которые образованы на основе общих признаков (предметы множества К).

2. Свойство, по которому образовано множество К, должно зависеть, по крайней мере гипотетически, от переносимого свойства (от свойства А, в данном случае от умения читать).

3. Выбор подкласса класса К (подкласса S) для исследования должен производиться не по переносимому свойству.

4. Отбор в множество S следует осуществлять так, чтобы представители всех подклассов множества К, образованных по признакам, от которых может зависеть (по крайней мере гипотетически) переносимый признак, имели равную возможность попасть в выборку.

5. Правдоподобие заключения может быть повышено, если исследуются также предметы, которые не входят в множество К, и устанавливается, что они не обладают переносимым свойством (свойством А).

6. Число предметов, отобранных для исследования, должно быть оптимальным.

Индукция на основе общего - это неполная индукция, при которой в процессе исследования принадлежности предметам определенного свойства не используются какие-либо индивидуальные, отличительные признаки этих предметов.

Пример. В результате наблюдения над некоторыми металлами установили, что они являются электропроводными. Предположили, что все металлы электропроводны. Затем объяснили механизм электропроводности. Электропроводность обусловлена наличием свободных электронов в металлах (в металлах как типе химических элементов). Утверждение «Все металлы электропроводны» стало достоверным.

Индукция на основе общего - это неполная индукция, дополненная методологией, представляющей собой чаще всего некоторую теорию.

Применение индукции на основе общего при исследовании социальных явлений связано с большими трудностями, поскольку в этом случае не всегда удается исключить индивидуальные особенности людей, социальных групп, специфические условия их деятельности и т.д. Этим зачастую объясняется недостаточная обоснованность выводов, получаемых в результате так называемых социальных экспериментов. Известно, например, что утопический социалист Роберт Оуэн провел социальный эксперимент в колонии Нью-Ланарк, блестяще подтвердивший его концепцию перестройки общества на социалистических началах. Однако все дальнейшие попытки Роберта Оуэна повторить эксперимент не увенчались успехом.

Вывод на основе социального эксперимента не всегда является достоверным и в тех случаях, когда эксперимент приводит к отрицательным результатам. Например, многократно проводились эксперименты в дореволюционной России и в советское время (особенно при Н.С. Хрущеве) по созданию крупных хозяйств на селе, в которых его члены не имели бы собственного скота и приусадебных участков. Поскольку коллективный труд более производителен, чем индивидуальный или в рамках семьи, сельскохозяйственным работникам должно быть выгоднее покупать продукты для питания, чем производить в подсобном хозяйстве. Такие эксперименты всегда давали отрицательный результат. Однако в начале 80-х годов появились хозяйства, в которых такие эксперименты оказались успешными.

При применении индукции на основе общего в социальной сфере необходимо четко разграничить общее и специфическое в явлениях и на основе социальных экспериментов доказать, что ожидаемый результат имеет место независимо от индивидуальных особенностей исследуемых объектов.

Математическая индукция. Иногда на основе неполной обобщающей индукции выдвигается заключение об обладании предметами, заданными особым образом (посредством индуктивных определений), некоторым свойством.

Примером рассуждения на основе неполной индукции такого типа может служить следующее.

1. Если правильным является рассуждение «Все люди смертны Сократ человек. Следовательно, Сократ смертен», то правильным является рассуждение «Все люди смертны. Следовательно, если Сократ человек, то Сократ смертен».

2. Если правильным является рассуждение «Если этот человек делает зарядку, то его соединительные ткани укрепляются. Если его соединительные ткани укрепляются, то он медленно стареет. Энн человек делает зарядку. Следовательно, он медленно стареет», то правильным является рассуждение «Если этот человек делает зарядку, то его соединительные ткани укрепляются. Если его соединительные ткани укрепляются, то он медленно стареет. Следовательно, если этот человек делает зарядку, то он медленно стареет».

Таких рассуждений можно приводить много.

На основе примеров рассуждений такого типа делается заключение: если правильным является рассуждение «», то правильным является рассуждение «». Заключение лишь правдоподобно. Как сделать его достоверным в рамках исчисления предикатов?