Программа курса высшей математики

Астраханский Государственный технический Университет

 

Кафедра «Математика»

 

Программа и контрольные

Задания по математике

для студентов – заочников

механических специальностей

 

Астрахань 2013 г

Составители:	Комаров М.П., к.ф.м.н, доцент кафедры «Математика», Бурмистрова О.В. старший преподаватель кафедры «Математика».
Рецензент:	Жуков В.М., к.т.н, доцент. кафедры «Математика»

 

 

 

Контрольные задания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры протокол заседания № 6 от 12. 02.2013г.

 

 

 

 

Методические указания

 

Контрольные работы составлены в соответствии с программой обучения. Работы выполняются в тетрадях с полями. На обложке указывается Ф.И.О., шифр, адрес студента, номер работы (работ) и дата ее (их) выполнения. Тексты задач записывать обязательно.

Количество контрольных работ на первом и втором курсах зависит от специальности, оно указывается в графике учебного процесса студента. Номера заданий по каждой работе находятся на кафедре «Математика», 1 корпус, аудитория 320.

 

 

 

Программа курса высшей математики

I	Линейная, векторная алгебры.
1.	Определители, их свойства.
2.	Матрицы, операции над ними.
3.	Системы линейных алгебраических уравнений, методы Крамера, матричный и Гаусса.
4.	Векторы, линейные операции над ними. Проекция вектора на ось. Базис, координаты вектора в базисе.
5.	Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их свойства и приложения.
6.	Комплексные числа, их формы и операции над ними.
II	Аналитическая геометрия.
1.	Уравнения прямой на плоскости, основные задачи..
2.	Уравнения плоскости в пространстве, основные задачи.
3.	Уравнения прямой в пространстве, основные задачи. Взаимное расположение прямой и плоскости.
4.	Кривые II-го порядка, их канонические уравнения.
5.	Поверхности II-го порядка, их канонические уравнения..
III	Введение в математический анализ.
1.	Функция одной переменной, способы ее задания, простейшие свойства. Основные элементарные функции, их графики.
2.	Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.
3.	Непрерывные функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции, их классификация. Свойства непрерывных функций.
IV	Дифференциальное исчисление.
1.	Производная, ее геометрический и механический смысл. Уравнения касательной и нормали к графику функций.
2.	Основные правила дифференцирования. Таблица производных основных элементарных функций.
3.	Дифференциал функции, его геометрический смысл, свойства, применение.
4.	Производные и дифференциалы высших порядков. Производные от функций, заданных неявно и параметрически.
5.	Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.
6.	Монотонность функции, ее необходимое и достаточное условия.
7.	Экстремум функции, его необходимое и достаточные условия. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
8.	Выпуклость, вогнутость графика функции, достаточное условие. Точка перегиба графика, необходимое и достаточное условия.
9.	Асимптоты графика, их определение. Полное исследование функции.
10.	Функция нескольких переменных. Предел и непрерывность функций 2-х и 3-х переменных, частные производные, их геометрический смысл.
11.	Частные производные высших порядков.
12.	Частные производные сложных и неявно заданных функций.
13.	Производная по направлению, градиент функции, их свойства.
14.	Полный дифференциал, его применение.
15.	Экстремум функции 2-х переменных, необходимое и достаточное условия. Наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области.
V	Интегрально исчисление.
1.	Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов.
2.	Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям.
3.	Интегрирование рациональных, тригонометрических и иррациональных функций.
4.	Определенный интеграл, его свойства, геометрический смысл.
5.	Производная от интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
6.	Замена переменной и интегрирование по частям в определенных интегралах.
7.	Геометрические и механические приложения определенных интегралов.
8.	Несобственные интегралы первого и второго рода.
9.	Двойные интегралы, их свойства, вычисление, геометрический смысл, приложения. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат.
10.	Тройные интегралы, их приложения, свойства, вычисление в прямоугольной декартовой и цилиндрической системах координат.
11.	Криволинейные интегралы I и II рода, их свойства, вычисление, приложения.
VI	Ряды.
1.	Числовые ряды, их сходимость, сумма. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости.
2.	Знакоположительные ряды, достаточные признаки сходимости.
3.	Знакопеременные ряды, их достаточный признак сходимости. Абсолютная и условная сходимость.
4.	Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.
5.	Функциональные ряды, их область сходимости и сумма. Степенной ряд, его интеграл и радиус сходимости. Теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.
6.	Разложения функций в степенные ряды. Таблица основных разложений. Приложения степенных рядов.
7.	Тригонометрический ряд Фурье.
VII	Дифференциальные уравнения.
1.	Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 и 2 порядков, задача Коши, общее и частное решения.
2.	Уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли.
3.	Уравнения II порядка, допускающие понижение порядка.
4.	Линейные однородные и неоднородные уравнения II порядка, структура их общих решений.
5.	Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения по виду правой части.
6.	Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами, их решение методом исключения неизвестных.
VIII	Математическая физика. Комплексные функции. Операционное исчисление.
1.	Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные типы уравнений математической физики. Краевые условия.
2.	Решение уравнения колебаний струны методами Даламбера и Фурье.
3.	Комплексная функция действительного переменного, ее предел, непрерывность, производная.
4.	Функция комплексного переменного, ее предел, непрерывность, производная и дифференцирование. Условия Коши-Римана.
5.	Оригиналы и изображения. Свойства преобразования Лапласа.
6.	Таблица основных оригиналов и изображений. Элементарные методы их нахождения.
7.	Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений.
IX	Теория вероятностей и математическая статистика.
1.	Основные понятия комбинаторики.
2.	Классификация событий, операции над ними. Относительная частота. Вероятность, ее свойства.
3.	Теоремы умножения и сложения вероятностей.
4.	Формулы полной вероятности, Бейеса, Бернулли, Лапласа, Пуассона.
5.	Случайная величина, ее виды и их законы распределения вероятностей.
6.	Основные числовые характеристики случайных величин: математического ожидания и дисперсия, их свойства.
7.	Законы распределения Бернулли и Гаусса.
8.	Законы больших чисел.
9.	Генеральная и выборочная совокупности. Статистическое распределение выборки. Выборочные средняя и дисперсия. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
10.	Доверительные вероятность и интервал. Интервальные оценки неизвестного математического ожидания нормального распределения.
11.	Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие. – М.: Высшее образование, 2006. – 404с.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. – 816 с.
3. Индивидуальные задания по высшей математике: учеб. пособие. В 4 ч. Ч. 1.; под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск: Высш. шк., 2007. – 304 с.
4. Индивидуальные задания по высшей математике: учеб. пособие. В 4 ч. Ч. 2.; под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск: Высш. шк., 2007. – 396 с.
5. Индивидуальные задания по высшей математике: учеб. пособие. В 4 ч. Ч. 3.; под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск: Высш. шк., 2007. – 367 с.
6. Индивидуальные задания по высшей математике: учеб. пособие. В 4 ч. Ч. 4.; под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск: Высш. шк., 2006. – 336 с.
7. Методические рекомендации к выполнению типовых расчетов / А.В. Имангазиева, О.В. Бурмистрова, М.П. Комаров [и др.] – Астрахань: Изд-во АГТУ, 2006. – 184 с.
8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 608 с.
9. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288 с.

 

 

 

I. Линейная алгебра.

 

1.1.–1.10. Даны матрицы и . Найти: 1) определитель матрицы по правилу треугольников; разложением по элементам первой строки; предварительно получив в ней два нуля; 2) матрицы , , .

 

1.1.

		; .
1.2.
		; .
1.3.
		; .
1.4.
		; .
1.5.
		; .
1.6.
		; .
1.7.
		; .
1.8.
		; .
1.9.
		; .
1.10.
		; .

 

 

I.11 – 1.20. Дана система линейных алгебраических уравнений. Показать, что она имеет единственное решение и найти его:

1) методом Крамера;

2) методом Гаусса.

 

1.11.	1.12.
1.13.	1.14.
1.15.	1.16.
1.17.	1.18.
1.19.	1.20.

 

1.21. – 1.30. Выполнить действия над комплексными числами и ответ записать в тригонометрической и показательной формах.

 

1.21. ;	1.22. ;
1.23. ;	1.24. ;
1.25. ;	1.26. ;
1.27. ;	1.28.
1.29. ;	1.20. .

 

 

1.31.–1.40. Решить уравнения:

 

1.31. ;	1.32. ;	1.33. ;
1.34. ;	1.35. ;	1.36. ;
1.37. ;	1.38. ;	1.39. ;
1.40. .