В отсутствие внешних сил средняя концентрация п молекул газа в состоянии термодинамического равновесия всюду одинакова. Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуация становится иной.
Рассмотрим, например, поведение молекул газа, находящегося под действием силы тяжести. Если бы не было теплового движения, то все молекулы «упали» бы на поверхность Земли. Наличие же теплового движения мешает этому. В результате совместного действия этих двух факторов устанавливается некоторое равновесие, и концентрация молекул становится зависящей от высоты. Как? Это и предстоит нам выяснить.
Пусть газ находится во внешнем поле потенциальных (консервативных) сил, действующих для простоты в одном направлении и зависящих только от координаты г. При тепловом равновесии температура Т должна быть одинакова по всей толщине газа, иначе бы возникли потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным.
Для определенности будем считать, что силы внешнего поля направлены вниз, а ось Z вверх
|
|
Выделим мысленно бесконечно узкий слой газа толщиной dz с площадью основания столба, равной единице (S =1).Запишем условие равновесия этого слоя, используя гидростатический подход.На слой dz действует направленная вверх сила, обусловленная разностью давлений dp (dp < 0), и сила,дейст-вующая вниз со стороны внешнего поля. При равновесии должно соблюдаться равенство
где Fz — проекция внешней силы, действующей на каждую молекулу. Заметим, что левая и правая части этого равенства являются отрицательными.
Из механики известно, что
где U — потенциальная энергия молекулы во внешнем поле. Поэтому формулу для dp можно переписать так:
Считая газ идеальным, т. е. подчиняющимся формуле р = пкТ, представим левую часть в виде dp = dn ۰ kT. Тогда эта формула примет вид dnkT = -ndU, или
Проинтегрировав последнее уравнение, получим
Будем считать, что Uo = 0, где п = п0, тогда
Этот закон и выражает распределение Болъцмана.
С его помощью можно найти число молекул в интересующем нас элементарном объеме dV:
При этом следует иметь в виду, что объем dV может иметь, вообще говоря, не любую форму. Обязательным является выполнение условия: во всех точках объема dV концентрация п должна быть одинаковой.
Рассмотрим подробнее случай изотермической атмосферы в однородном поле сил тяжести. В этом случае U = mgz, где m —масса молекулы,
и распределение Больцмана принимает вид:
На рисунке показаны два графика этого распределения,1и2.
График 2 соответствует более высокой температуре (по сравнению с графиком 1. Произведение n(z)dz равно числу молекул в слое толщиной dz на высоте z в вертикальном столбе, площадь сечения которого равна единице (S =1).Площадь под кривыми I и 2 на рисунке равна полному числу молекул в таком бесконечно высоком столбе. Отсюда следует, что площади под кривыми 1 и 2 одинаковы в данном случае.
|
|
Если газ представляет собой смесь разных газов, то в состоянии термодинамического равновесия концентрация п этих газов должна убывать с высотой экспоненциально с различной «скоростью» — в зависимости от масс молекул. Более крутая экспонента 1 на рисунке соответствует более тяжелым молекулам.
Для земной атмосферы резкого изменения состава газа с высотой не наблюдается. Известно также, что с высотой температура понижается, а это противоречит требованию одинаковости температуры в равновесном столбе газа (во избежание конвекционных тепловых потоков). Все это указывает на то, что земная атмосфера не находится в состоянии статистического равновесия.