Гравітаційна та інерційна маси. Експериментальні докази їх рівності. Досліди Етвеша

ІV. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.

Рис. 7.1

Розглянемо випадок руху твердого тіла навколо закріпленої осі (рис. 7.1), коли момент зовнішніх сил зумовлений силою тяжіння. Якщо центр мас тіла знаходиться у точці С, то момент сили тяжіння відносно горизонтальної осі обертання, що проходить через точку О, запишеться

, (7.1)

де d - відстань від осі обертання до центра мас (ваги) С, а a - кут між прямою ОС і вертикаллю. Якщо тіло закріплене на осі, що не проходить через центр мас, то при на нього діє момент сили тяжіння. Таке тіло називається фізичним маятником (на відміну від математичного маятника, для якого розмірами тіла можна знехтувати, порівняно з відстанню до осі обертання). Оскільки рівняння моментів при обертанні тіла навколо закріпленої осі записується

, (7.2)

де J - момент інерції тіла відносно закріпленої осі, а - кутове прискорення, то з врахуванням (7.1) маємо

. (7.3)

Порівнюючи це рівняння з аналогічними рівняннями для математичного маятника (див. лаб. роботу №6), бачимо, що ці рівняння різняться тільки сталим множником . Тому фізичний маятник коливатиметься за таким же законом, як математичний маятник, довжина якого . Ця довжина називається зведеною довжиною даного фізичного маятника. Точка О ¢, що лежить на відстані зведеної довжини від осі обертання, називається центром коливань фізичного маятника. Зведена довжина завжди більша за d, тобто центр коливань лежить нижче центра мас.

Якщо амплітуди коливань малі, то по аналогії з математичним маятником період

. (7.4)

V. МЕТОДИКА ЕКСПЕРИМЕНТУ

Оскільки період маятника залежить від g, то цим можна скористатися для визначення величини g. Якщо ми перенесемо точку підвісу фізичного маятника у центр коливань, то попередня точка підвісу буде новим центром коливань. Точка підвісу і центр коливань оборотні. Скориставшись оборотністю точки підвісу і центра коливань, можна на досліді знайти положення центра коливань. Це – точка, в якій треба закріпити вісь маятника, щоб “обернутий” він коливався з тим самим періодом, що і раніше.

У даній лабораторній роботі для визначення g використовується обертовий маятник, загальний вигляд якого зображений на рис. 7.2.

В основу (1) вмонтовані регулюючі ніжки (2), які дозволяють провести вирівнювання приладу, а також колонка (3), на якій зафіксовано верхній кронштейн (4) і нижній кронштейн (5) з фотоелектричним датчиком (6).

Рис. 7.2

Після відпуску гвинта (11) верхній кронштейн можна повертати навкруги колонки. Затискач гвинта фіксує кронштейн в будь-якому, довільно вибраному положенні. З однієї сторони кронштейна знаходиться математичний маятник (7), а з протилежної, на вмонтованих вкладах – оборотний маятник. Довжину математичного маятника можна регулювати за допомогою воротка (9), а її величину можна визначити за допомогою шкали на колонці (3).

Оборотний маятник виконано у вигляді стержня, на якому фіксуються два повернені один до одного лезами ножі і два тягарці у вигляді дисків. На стержні через 10 мм зроблені кільцеві нарізки, що служать для точного визначення довжини оборотного маятника (віддалі між ножами). Ножі і тягарці можна зміщувати вздовж осі стержня і фіксувати в будь-якому положенні. Їх зміщення вздовж стержня, завдяки кільцевим нарізкам, є кратним 10 мм, а фіксуючі гвинти за допомогою тих же кільцевих нарізок дають можливість їх надійного закріплення.

Момент інерції J за теоремою Гюйгенса-Штейнера можна записати у вигляді

, (7.5)

де J ₀ - момент інерції маятника відносно осі, що проходить через центр ваги і паралельна до осі обертання. Тоді (7.4) запишеться так

. (7.6)

Залежність періоду Т від d графічно зображена на рис. 7.3.

Рис. 7.3

Із графіка видно, що період коливань T фізичного маятника, прямує до нескінченності при ( як d ^-1/2) і при ( як d ^1/2). При T > T _min одне і те ж значення періоду може бути при двох різних значеннях d. Причому, як це видно з графіка, при різних значеннях T значення d ₁ і d ₂ можуть зближуватись, або, навпаки, віддалятися один від одного. Ці різні значення d ₁ і d ₂, при яких періоди коливань фізичного маятника однакові, знаходяться з досліду і використовуються для обчислення прискорення сили земного тяжіння. Якщо маятник опирається спочатку на ніж 1, а потім на ніж 2, то періоди коливань, згідно (7.6), визначаються, відповідно, за формулами:

Виключаючи з цих двох виразів 4p² J ₀, одержимо

. (7.7)

Якщо T ₁= T ₂= T, формула (7.7) для визначення g набуде вигляду:

. (7.8)

Тут d ₁ + d ₂ = l ₀ – віддаль між ножами, яка рівна зведеній довжині, тому

(7.9)

– кінцева робоча формула.

Нижній кронштейн, разом з фотоелектричним датчиком можна переміщати вздовж колонки і фіксувати в довільно вибраному положенні. Фотоелектричний датчик з’єднано з універсальним секундоміром РМ-14 (10). На фронтальній панелі універсального секундоміра знаходяться такі управляючі елементи:

СЕТЬ – вмикач мережі. Натиснувши на цю кнопку, вмикаємо джерело струму. Візуально це супроводжуватиметься свіченням цифрових індикаторів і лампочки фотоелектричного датчика;

СБРОС – встановлення нуля вимірювача. Натиск цієї кнопки переводить схеми секундоміра в початкове положення і викликає генерацію сигналу дозволу на вимірювання;

СТОП – закінчення вимірювання. Натиснення цієї кнопки викликає сигнал закінчення процесу підрахунку.

VІ. ЗАВДАННЯ ТА ПОРЯДОК ВИКОНННЯ РОБОТИ

1. Підготувати прилад для вимірювання, для цього перевірити вирівнювання приладу, увімкнути шнур живлення приладу в мережу, натиснути перемикач “СЕТЬ”, перевіряючи, чи всі індикатори показують нуль і чи горить лампа фотоелектричного датчика.

2. Зафіксувати тягарці на стержні несиметрично, таким чином, щоб один із них знаходився поблизу кінця стержня, а другий поблизу його середини.

3. Ножі маятника закріпити по обидва боки центра ваги системи таким чином, щоб вони були звернені один до одного лезами. Один із них розмістити поблизу вільного кінця стержня, а інший на половині віддалі між тягарцями.

4. Перевірити, чи відповідають грані лез ножів нарізкам на стержні.

5. Закріпити маятник на вкладці верхнього кронштейну на ножі, що знаходиться поблизу кінця стержня.

6. Нижній кронштейн разом з фотоелектричним датчиком перемістити таким чином, щоб маятник перетинав світловий промінь.

7. Відхилити маятник на 4-5⁰ від положення рівноваги і відпустити.

8. Натиснути кнопку “СБРОС”.

9. Після підрахунку вимірювачем 10 повних коливань, натиснути кнопку “СТОП”.

10. Результати занести в таблицю. Обчислити період коливань за формулою , де n - кількість повних коливань, t - тривалість коливань.

11. Зняти маятник і закріпити його на другому ножі. При цьому нижній кронштейн з фотоелектричним датчиком перемістити так, щоб маятник перетинав світловий пучок.

12. Відхилити маятник на 4-5^о від положення рівноваги, визначити T ₂ і порівняти з результатом Т ₁, одержаним вище.

13. Якщо Т ₂ > T ₁, то другий ніж перемістити в напрямку тягарця, що знаходиться в кінці стержня, якщо Т ₂ < T ₁ – то в напрямку середини стержня.

14. Повторно виміряти період T ₂ і порівняти із значенням T ₁.

15. Змінювати положення другого ножа до моменту одержання рівності Т ₂ = T ₁ з максимально можливою величиною точності.

16. Визначити зведену довжину l ₀ оборотного маятника, підраховуючи кількість нарізів, які нанесені через кожні 10 мм, на стержні між ножами.

17. На математичному маятнику довжиною l ₀ перевірити, чи співпадає його період з отриманим періодом фізичного маятника.

17. За формулою (7.9) обчислити величину прискорення сили земного тяжіння. Результати занести в таблицю.

18. Перевести ножі і тягарці в інше положення і знову провести вимірювання та обчислення згідно пунктів 3-17. Дослід провести при різних положеннях ножів і тягарців не менше 5-ти раз. Одержані значення величин обробити за схемою № 1.

19. Кінцевий результат представити у вигляді .

20. Зробити короткі висновки.

VII. ПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ І САМОКОНТРОЛЮ

1. Що таке період, частота, амплітуда і фаза коливань?

2. Дати визначення фізичного маятника.

3. Вивести формулу .

4. На які складові можна розбити величину J у попередній формулі?

5. Що називається зведеною довжиною фізичного маятника?

6. Покажіть, що зведена довжина фізичного маятника завжди більша за .

7. Поясніть властивість оборотності точки підвісу і центра коливань фізичного маятника.

8. Як впливає на точність експерименту коливання температури, сила тертя, амплітуда коливань маятника?

9. Поясніть, чому сочевиці мають різну масу. Чому їм надана така форма?

10. Оцініть час, необхідний для проведення досліду, якщо потрібно виміряти період коливань з точністю . Систематична похибка секундоміра 0,2 с. Середнє значення періоду Т = 1 с.