Розділ ІІ. Методичні вказівки до виконання індивідуальних завдань

ОДНОФАКТОРНІ ЕКОНОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА ОЦІНОК ОДНОФАКТОРНОЇ ЕКОНОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ

Вибірка змінних та задається табл.1: Таблиця 1

	25	24	20	20	17	14	10	9	8	5
	6	10	12	14	15	20	24	27	29	35

Необхідно:

1. Провести специфікацію моделі.

2. Розрахувати оцінки та методом:

· МНК (за системою нормальних рівнянь);

· МНК (через відхилення від середніх).

3. Дати геометричну інтерпретацію оціночних рівнянь.

4. Обчислити загальну, пояснену і непояснену дисперсії.

5. Інтервал довір’я (р=0.9) рівняння економетричної моделі.

6. Коефіцієнт детермінації і кореляції.

7. Інтервал довір’я (р=0.9) параметрів та .

8. Перевірити нульову гіпотезу щодо коефіцієнту кореляції r. Перевірити нульову гіпотезу щодо кутового коефіцієнту .

9. Перевірити адекватність прийнятої економетричної моделі експериментальним даним.

Хід роботи.

1) Специфікацію моделі здійснюємо з допомогою діаграми розсіювання. В прямокутній декартовій системі координат xOy будуємо точки { x_i, y_i } (i = ), координати яких визначаються табл. 1 (див. рис. 1).

Рис. 1

Переконавшись з графіку, що залежність між фактором і показником лінійна, знаходимо оціночне рівняння у вигляді:

2) Оцінки параметрів та обчислюємо з системи нормальних рівнянь методу найменших квадратів

де n – об’єм вибірки.

Будуємо розрахункову таблицю Табл. 2

N	_i	_i	_i _i	_i²
1	6	25	150	36
2	10	24	240	100
3	12	20	240	144
4	14	20	280	196
5	15	17	255	225
6	20	14	280	400
7	24	10	240	576
8	27	9	243	729
9	29	8	232	841
10	35	5	175	1225
S	192	152	2335	4472

Система рівнянь в числах набере вигляду

Її можна розв’язати довільним методом. Продемонструємо розв’язок цієї системи за допомогою методу Крамера. Оцінки будуть розраховуватися за формулами:

Тоді

=	(152·4472-192·2335)/(10·4472-(192)²) =		29,46
=	(10·2335-192·152)/(10·4472-(192)²)=	-0,74

Ці ж оцінки знайдемо не розв’язуючи системи нормальних рівнянь. Згідно МНК через відхилення від середніх значень

де

Будуємо розрахункову таблицю Табл. 3

N
1	25	6			9,8	-13,2	174,24	-129,36
2	24	10			8,8	-9,2	84,64	-80,96
3	20	12			4,8	-7,2	51,84	-34,56
4	20	14			4,8	-5,2	27,04	-24,96
5	17	15	15,2	19,2	1,8	-4,2	17,64	-7,56
6	14	20			-1,2	0,8	0,64	-0,96
7	10	24			-5,2	4,8	23,04	-24,96
8	9	27			-6,2	7,8	60,84	-48,36
9	8	29			-7,2	9,8	96,04	-70,56
10	5	35			-10,2	15,8	249,64	-161,16
S	152	192			0	0	785,6	-583,4

Отже, оціночне рівняння має вигляд

4) Знаходимо загальну, пояснену і непояснену дисперсії по формулах

; .

Необхідні обчислення приведені в таблиці: Табл 4

N				²		-	( - )²	-	( - )²
1	25	6	9,8	96,04	25,02	9,82	96,4324	-0,02	0,0004
2	24	10	8,8	77,44	22,06	6,86	47,0596	1,94	3,7636
3	20	12	4,8	23,04	20,58	5,38	28,9444	-0,58	0,3364
4	20	14	4,8	23,04	19,1	3,9	15,21	0,9	0,81
5	17	15	1,8	3,24	18,36	3,16	9,9856	-1,36	1,8496
6	14	20	-1,2	1,44	14,66	-0,54	0,2916	-0,66	0,4356
7	10	24	-5,2	27,04	11,7	-3,5	12,25	-1,7	2,89
8	9	27	-6,2	38,44	9,48	-5,72	32,7184	-0,48	0,2304
9	8	29	-7,2	51,84	8	-7,2	51,84	0	0
10	5	35	-10,2	104,04	3,56	-11,64	135,4896	1,44	2,0736
S	152	192	0	445,6	152,52	0,52	430,2216	-0,52	12,3896

Дисперсії = 445,6/10 = 44,56, = 430,2/10=43,02, = 12,4/10=1,24,

а відповідні їм середньоквадратичні відхилення , ,

5) Граничну похибку оцінки за рівнянням економетричної моделі знаходимо по формулі

де - імовірносний коефіцієнт, який при заданих рівнях імовірності р знаходиться за таблицями нормального розподілу. При цьому розв’язуємо рівняння 2Ф(t_p)=p, де Ф(t) – функція Лапласа. Для р =0.9 ( =1.65). Одержуємо =1,83. Довірчий інтервал знаходимо з нерівності

- 1,83 + 1,83

+ 27,63

Для наочного уявлення одержаних розрахунків будуємо графіки: фактичних даних , оціночного рівняння , довірчого інтервалу.

Рисунок 2

6) Знайдемо значення коефіцієнта детермінації за формулою

і коефіцієнта кореляції за формулою

Так як r =-0,98, то це вказує, що оціночна пряма пояснює 98% загальної дисперсії. Дисперсія зумовлена випадковою складовою (невраховані фактори, помилки виміру, суб’єктивний чинник) складає лише 2%. Знак коефіцієнта кореляції повинен співпадати з знаком .

7) Переходимо до знаходження довірчих інтервалів для параметрів та . Вони знаходяться аналогічно довірчим інтервалам оцінки за рівнянням економетричної моделі. Спочатку знаходимо граничні похибки оцінок за формулою

, ,

де , - дисперсії оцінок та , які визначаються за формулами

= .

Обчислюємо = , = ;

=1,38,

Отже,

довірчий інтервал для параметра

- Ј a Ј +

29,46 - 1,38Ј a Ј 29,46 + 1,38

28,08 Ј a Ј 30,84.

Довірчий інтервал для параметра b

- £ b £ +

-0,74 - 0,07£ b £-0,74 + 0,07

-0,81 £ b £-0,67.

8) Коефіцієнт кореляції r знайдено на основі вибіркових даних і він є випадковою величиною. Зробимо перевірку нульової гіпотези. Згідно з нею коефіцієнт кореляції в генеральній сукупності дорівнює нулю (відсутній кореляційний зв’язок між Y і X в генеральній сукупності) і необхідно дослідити сумісність коефіцієнта кореляції із нашої вибірки (r) з даною гіпотезою. Нульова гіпотеза Н₀: r _ген = 0, альтернативна гіпотеза Н₁: r _ген № 0. Для вибірки обчислюється статистика

яка має розподіл Стьюдента з k=n-2 ступенями вільності. Для заданої ймовірності р і k ступенів вільності знаходимо табличне значення - статистики. Якщо то із заданою надійністю р гіпотезу Н₀слід відкинути і прийняти альтернативну гіпотезу Н₁про існування залежності між цими випадковими величинами. = . Табличне значення =2.306 для надійності р=0.95. Емпіричне значення t більше критичного, тому нульова гіпотеза відхиляється. В 95% вибірок з генеральної сукупності коефіцієнт кореляції не дорівнює нулю.

Перевіримо нульову гіпотезу стосовно оцінки . Знаходимо емпіричне значення відношення для перевірки нульової гіпотези за формулою: . = 18,5.

Табличне значення =2.306 для надійності р=0.95. Емпіричне значення t більше критичного, тому нульова гіпотеза відхиляється. Кутовий коефіцієнт розрахований по вибірці вважається статистично значущим з імовірністю 0,95.

9) Для визначення адекватності прийнятої економетричної моделі експериментальним даним скористаємося F - критерієм Фішера. Розрахункове значення критерію (m-кількість факторів).

= =156,79.

Табличне значення критерію для ймовірності р =0,95 і числа ступенів вільності k₁ =m=1, k₂=n-m-1=10-2=8 дорівнює 5,32 (див. висн.).

Висновки

1. Оскільки F_роз. >F_таб., то з надійністю р = 0,95 економетричну модель =-0,74+29,46* x можна вважати адекватною експерементальним даним і на підставі прийнятої моделі можна проводити економічний аналіз.