2018-02-13
261
Знаходження оцінок методом найменших квадратів із застосуванням
системи нормальних рівнянь
Задана вибірка трьох змінних Y, X1, Х2 у вигляді таблиці
| Y | 4 | 5 | 6 | 8 | 11 | 11 | 12 | 12 | 13 | 14 |
| X1 | 3 | 4 | 5 | 7 | 9 | 11 | 10 | 12 | 11 | 12 |
| X2 | 7 | 9 | 11 | 12 | 12 | 15 | 18 | 21 | 22 | 24 |
Визначити оцінки 
з допомогою МНК, вважаючи, що економетрична модель лінійна. Знайти ці ж оцінки, застосовуючи формули відхилення від середніх.
Розв’язування. знаходимо розв’язавши систему нормальних рівнянь, виведених із допомогою МНК
Як і в попередніх роботах розрахунки сум, які входять у систему нормальних рівнянь, зводимо в таблицю.
| № | Yі | X 1 і | X 2 і | 
| 
| Yі X 1 і | Yі X 2 і | X 1 і X 2 і |
| 1 | 4 | 3 | 7 | 9 | 49 | 12 | 28 | 21 |
| 2 | 5 | 4 | 9 | 16 | 81 | 20 | 45 | 36 |
| 3 | 6 | 5 | 11 | 25 | 121 | 30 | 66 | 55 |
| 4 | 8 | 7 | 12 | 49 | 144 | 56 | 96 | 84 |
| 5 | 11 | 9 | 12 | 81 | 144 | 99 | 132 | 108 |
| 6 | 11 | 11 | 15 | 121 | 225 | 121 | 165 | 165 |
| 7 | 12 | 10 | 18 | 100 | 324 | 120 | 216 | 180 |
| 8 | 12 | 12 | 21 | 144 | 441 | 144 | 252 | 252 |
| 9 | 13 | 11 | 22 | 121 | 484 | 143 | 286 | 242 |
| 10 | 14 | 12 | 24 | 144 | 576 | 168 | 336 | 288 |
| S | 96 | 84 | 151 | 810 | 2589 | 913 | 1622 | 1431 |
Виписуємо систему нормальних рівнянь, підставляючи обраховані суми
|
|
|
Розвязуємо систему рівнянь із допомогою матричного методу.
Матриця коефіцієнтів системи нормальних рівнянь
Оберенена до неї матриця
Розв’язки системи нормальних рівнянь, отримані множенням оберненої матриці на вектор вільних членів
Отже, розв’язок системи нормальних рівнянь буде таким:
Таким чином, рівняння оціночної площини набуває виду
.
Оцінки економетричної моделі можна розрахувати за формулами відхилення від середніх. Формули відхилення від середніх отримуємо виконанням нескладних алгебраїчних перетворень системи нормальних рівнянь.
Розрахунки зводимо в таблицю
| № | Y | X1і | X2і | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 1 | 4 | 3 | 7 | -5,6 | -5,4 | -8,1 | 29,16 | 65,61 | 43,74 | 30,24 | 45,36 |
| 2 | 5 | 4 | 9 | -4,6 | -4,4 | -6,1 | 19,36 | 37,21 | 26,84 | 20,24 | 28,06 |
| 3 | 6 | 5 | 11 | -3,6 | -3,4 | -4,1 | 11,56 | 16,81 | 13,94 | 12,24 | 14,76 |
| 4 | 8 | 7 | 12 | -1,6 | -1,4 | -3,1 | 1,96 | 9,61 | 4,34 | 2,24 | 4,96 |
| 5 | 11 | 9 | 12 | 1,4 | 0,6 | -3,1 | 0,36 | 9,61 | -1,86 | 0,84 | -4,34 |
| 6 | 11 | 11 | 15 | 1,4 | 2,6 | -0,1 | 6,76 | 0,01 | -0,26 | 3,64 | -0,14 |
| 7 | 12 | 10 | 18 | 2,4 | 1,6 | 2,9 | 2,56 | 8,41 | 4,64 | 3,84 | 6,96 |
| 8 | 12 | 12 | 21 | 2,4 | 3,6 | 5,9 | 12,96 | 34,81 | 21,24 | 8,64 | 14,16 |
| 9 | 13 | 11 | 22 | 3,4 | 2,6 | 6,9 | 6,76 | 47,61 | 17,94 | 8,84 | 23,46 |
| 10 | 14 | 12 | 24 | 4,4 | 3,6 | 8,9 | 12,96 | 79,21 | 32,04 | 15,84 | 39,16 |
| S | 96 | 84 | 151 | 0 | 0 | 0 | 104,4 | 308,9 | 162,6 | 106,6 | 172,4 |
Знаходимо оцінки економетричної моделі
Отже, 
.
Результати розрахованих двома способами оцінок повинні співпасти.
