Метод простых итераций

Исходное уравнение (3.1) преобразуем к эквивалентному уравнению:

x = (x).

(3.8)

Пусть известно начальное приближение (полученное, например, на этапе отделения корней): x = x ₀. Подставим его в правую часть (3.8) и получим новое приближение: x ₁ = (x ₀). Повторяя эту процедуру, будем иметь в общем виде на некотором k-м шаге:

 x_k = (x_k-1).

В качестве условия окончания вычислительного процесса можно взять выполнение неравенства:                                             ½ x_k - x_k-1 ½ < .

Значение x _k, удовлетворяющее ему, и есть корень уравнения (3.1).

Геометрическая интерпретация этого метода приведена на рис.3.8, 3.9. Здесь x ^* - истинное, искомое значение корня; x ₀ - начальное приближение к корню; x ₁, x ₂, x ₃ - оче­редные итерации.

Рис.3.8.

Рис.3.9.

При испо­ль­зовании этого метода возникает вопрос о его сходимос­ти. Дело в том, что при некоторых условиях расстояние между истинным корнем и прибли­жениями к нему может возрастать с каждой новой итерацией, как это показано на рис.3.10, 3.11.

Рис.3.10.

Рис.3.11.

Условием сходимости метода простых итераций является выполнение в окрестности искомого корня неравенства:

½ (x)½ < 1

(3.9)

Это условие является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс обязательно схо­­дится; если же условие (3.9) не выполняется или выполняется не во всех точках

x ₀, x ₁, x ₂,..., x _k,...,

то заранее сказать что-либо конкретное о сходимости нельзя.

Итак, для решения уравнения F (x) = 0методом простых итераций надо преобразо­вать его к уравнению вида x = (x) так, чтобы выполнялось условие ½ (x)½ < 1. Схо­димость к истинному корню будет тем быстрее, чем ближе к единице значение (x).