Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
,
где , , – заданные, непрерывные на (a;b) функции. Уравнение
,
левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ , называется соответствующим ему однородным уравнением.
Теорема (структура общего решения ЛНДУ):
Общим решением у уравнения является сумма его произвольного частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения , т.е. .
Убедимся, что функция – решение уравнения . Так как есть решение уравнения , а – решение уравнения ,
то и .
В таком случае имеем:
Это означает, что функция является решением уравнения .
Покажем теперь, что функция
является общим решением уравнения . Для этого надо доказать, что из решения можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, .
Продифференцировав функцию и подставив начальные условия в данную функцию и ее производную, получим систему уравнений:
|
|
где , с неизвестными и . Определителем этой системы является определитель Вронского для функции и в точке . Функции и линейно независимы, т.е. . Следовательно, система имеет единственное решение:
и .
Решение является частным решением уравнения , удовлетворяющим заданным начальным условиям
, .
Теорема доказана.