Обтекание шара. Гидравлическая крупность

Зависимость коэффициента сопротивления шара от числа Рейнольдса имеет сложный вид (см. рис. 10.2). В первом приближении она может быть описана формулой [1]

или (8.12)

которая действительна при Re<10⁵. В этой формуле Re=υd/ν (d - диаметр шара.) При очень малых числах Рейнольдса из уравнения (10.12) следует:

(8.13)

Подставляя это выражение в формулу (10.11), получим формулу Стокса:

F_д=3πμυd, (8.14)

При очень больших числах Рейнольдса

. (8.15)

Скорость равномерного падения шара в покоящейся жидкости ω (так называемая гидравлическая крупность), или скорость восходящего потока, при которой частица шарообразной формы находится в равновесии (скорость витания), может быть найдена из формулы

, (8.16)

где ρ_тв - плотность твердого тела;

ρ_ж - плотность жидкости;

С_д - коэффициент сопротивления шара.

С учетом выражения (8.12) формула (8.16) принимает вид:

, (8.17)

где ; ω – в см/с; d – в см; ν – в см²/с

Определение гидравлической крупности (скорости витания) весьма важно для расчетов гидро- и пневмотранспортирования, движения наносов и др.

Значения гидравлической крупности ω для частиц разного диаметра при их падении в неподвижной воде даны в табл. 8.2 (при температуре воды 20°С),

Примеры

Пример 8.1. Плоская пластинка с размерами L =1 м и l =3 м (размер, перпендикулярный чертежу) и абсолютной эквивалентностью k_э=0,1 мм обдувается в ребро потоком воздуха со скоростью υ=50 м/с. Температура воздуха 15°С. Определить силу трения воздуха о пластинку.

Решение. Коэффициент сопротивления трения для турбулентного пограничного слоя определяем по формуле (8.7):

С_f=0,03(k_э/L+83/Re_L)^0,2

Кинематический коэффициент вязкости воздуха ν=1,45·10^-5 м²/с (см. приложение 5).

Число Рейнольдса в рассматриваемом случае

Коэффициент сопротивления трения

Сила трения воздуха по двум сторонам пластинки при ρ= 1,2 кг/м³ (см. приложение 5)

Н.

Пример 8.2. Вычислить силу давления ветра, которую испытывает 1 м² лобовой площади дымовой трубы (ω =1 м²). Коэффициент сопротивления такой трубы С_д=0,67 определен путем испытания модели. Наибольшая скорость ветра υ=50 м/с. Температура воздуха 15°С.

Решение. Плотность воздуха ρ= 1,21 иг/м³, давление ветра находим по формуле

F_д=C_д ωρν²/2=0,67·1·1,21·50²/2≈1·10³Н

Пример 8.3. Осевая сила, с которой поток действует на круглую прямую трубу диаметром d=0,3 м, по динамометру R=7·10²Н (рис. 8.4). Определить

давление ρ₁ на входе в трубу, если вода вытекает из трубы в атмосферу.

Рис. 8.4 Рис. 8.5

Решение. Составим уравнение количества движения в проекции на направление движения для сечений 1—1 и 2—2:

ρQυ₁– ρQυ₂ = p₁ω – F

Поскольку сечение трубопровода по длине не изменяется, то

υ₁= υ₂; p₁ω =R,

откуда

Пример 8.4. Определить избыточное давление на входе в диффузор с условием, чтобы сила, действующая на диффузор в направлении течения, равнялась нулю, если Q=0,01м³/с; d₁=0,03 м; d₂=0,1 м; α=60° (рис. 8,5).

Решение. Запишем уравнение количества движения в проекции на направление движения в виде

ρQυ₁– ρQυ₂ = p₁ω₁ – p₂ω₂ + F

По условию задачи F=0. Выразим давление на выходе из диффузора через искомое давление p₁, используя уравнение Бернулли:

P₂=P₁+ ρυ₁²/2 – ρυ₂²/2 –ΔP_пот.

Найдем скорости на подходе к диффузору и на выходе из него:

υ₁ =Q/ω₁=1,27·0,01/0,03²=14,1 м/с;

υ₂ =Q/ω₁=1,27·0,01/0,1² = 1,27 м/с.

Потери давления в диффузоре

ΔP_пот=ζρυ₂²/2

Где

ζ=К_п.р.(ω₁/ω₂-1)=k_п.р.(d₂²/d₁²-1)

По табл. 4.3 при α=60° К_п.р.= 0,95. Тогда

ζ=0,95(0,1²/0,03²-1)²=95.

При плотности воды ρ=998,2 кг/м³, подставляя численные значения, получим:

ΔP_пот=95·998,2·1,27²/2=0,765·10⁵ Па.

Тогда

Подставляем полученные величины в уравнение количества движения:

и находим

P₁= - 0,44·10⁵ Па= - 44 кПа.

Таким образом, для того чтобы на диффузор не действовали осевые усилия, давление на входе в него должно быть отрицательным.

Пример 8.5. Определить расход воздуха, поступающего в каждое отверстие квадратного сечения в промышленном здании (рис. 10.6). Вентиляция осуществляется за счет динамического воздействия ветра (ветрового давления). Скорость ветра υ=5 м/с; температура воздуха 20°С; площади отверстий ω₁ =15 м², ω₂ =30 м²; ω₃=10 м².

Рис. 10.6

Решение. Ветровое давление на поверхность здания (на единицу площади) определяем по формуле (8.5).

Где С – в данном случае аэродинамический коэффициент сопротивления, зависящий от характера обтекания ветром рассматриваемой поверхности.

Ветровые коэффициенты принимаем соответственно: С₁=0,5, С₂= - 0,3, С₃= - 0,1. Плотность воздуха ρ=1,22 кг/м³.

Давление ветра на наветренную поверхность у первого отверстия

Давление у третьего отверстия

Предположим, что общий баланс воздуха в помещении имеет вид

где Q₁ - расход воздуха, поступающего в помещение через первое отверстие; Q₂ и

Q₃ - расходы воздуха, уходящего из помещения через второе и третье отверстия соответственно.

Если давление в помещении обозначить через p_п, то расходы воздуха в каждом отверстии (разность в подкоренном выражении всегда положительна):

Коэффициенты расхода отверстий μ₁, μ₂, μ₃ в общем случае зависят от числа Рейнольдса. В первом приближении принимаем квадратичный законн истечения, тогда μ₁=μ₂=μ₃. Следовательно,

Полученное трансцендентное уравнение решаем графически относительно давления в помещении р_п. Для этого представим уравнение в виде

Задаваясь различными значениями р_п, вычисляем соответствующие f(p_п):

р_п = 1

р_п = 0

р_п = - 2

Построим график зависимости f(р_п) от р_п (рис. 10.7). Решение уравнения находим при f(р_п)=1, р_п= - 1,8. Результаты расчета давления в помещении показывают, что так как р_п<р_вз, через третье отверстие воздух будет поступать в помещение.

Рис. 8.7 Рис. 8.8

Находим числа Рейнольдса и значения коэффициентов расхода μ при движении воздуха в отверстиях [ν=15·10^-6 м²/с (см. приложение 4)]. Число Рейнольдса

Эквивалентный диаметр квадратного отверстия d=a=√ω находим по приложению 17. Тогда

По рис. 7.2 находим: μ₁=0,60. Аналогичным способом находим: μ₂=0,60;

Μ₃=0,60.

Расход воздуха, поступающего в помещение:

через первое отверстие

=34,4 м³/с;

через третье отверстие

=4,3 м³/с.

Расход воздуха, уходящего из помещения через второе отверстие

=39 м³/с

Проверяем баланс воздуха в помещении:

Приток воздуха =38,7 м³/с; удаление воздуха =39 м³/с. Погрешность расчета составляет:

Таким образом, третье отверстие при заданном направлении ветра работает как приточное, причем расход воздуха, поступающего через это отверстие, составляет всего 10% расхода воздуха, поступающего через первое отверстие.

Пример 8.6. Струя, вытекающая из коноидального насадка диаметром

d=0,15 м, должна воздействовать на небольшую преграду с силой R=2·10⁴ Н.

Определить расход воды Q и давление перед насадком p, если преграда делит струю на две части, отклоняемые на угол φ=60° (рис. 10.8).

Решение. Силовое воздействие струи в направлении ее оси определяем по

формуле (10.1):

F=ρων²(1-cosφ),

Откуда