Механические колебания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

(национальный исследовательский университет)"

 

 

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

 

Задачи для аудиторной и самостоятельной работы

 

Самара 2012

УДК 53(075)

Составители: Г.Ю. Баландина, Е.А.Китаева, В.Г. Макарян, И.Л. Стукалина

 

 

Колебания и волны: Задачи для аудиторной и самостоятельной работы / Самарский гос. аэрокосм. ун-т. Сост. Г.Ю. Баландина, Е.А.Китаева, В.Г. Макарян, И.Л. Стукалина; Самара, 2011. 20 с.

 

     Пособие содержит вопросы для самоконтроля, принятые обозначения и основные формулы. Методические указания составлены в соответствии с программой по физике для студентов дневного отделения радиотехнического факультета. Подготовлено на кафедре физики.

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва.

Рецензент: д.т.н., профессор В.И.Богданович.

 

 

Механические колебания

 

Вопросы:

1 Гармонические колебания.

2 Характеристики колебаний.

3 Законы изменения координат, скоростей, ускорений и энергии при гармоническом колебательном движении.

4 Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты.

5 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

6 Затухающие колебания.

7 Характеристики затухающих колебаний.

 

Принятые обозначения:

·  − смещение от положения равновесия.

·  − амплитуда колебаний.

·  − угловая частота.

·  − фаза колебаний.

·  − частота колебаний.

·  − скорость колеблющейся точки.

·  − ускорение колеблющейся точки.

·  − период колебания.

·  − коэффициент затухания.

·  − логарифмический декремент затухания.

·  − добротность системы.

 

Основные формулы:

· Уравнение гармонических колебаний:

.

· Скорость при гармоническом колебании:

.

· Ускорение при гармоническом колебании:

.

· Угловая частота колебаний:

 и .

· Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний одного направления с одинаковыми частотами:

,

где  и  − амплитуды складываемых колебаний,  и  − начальные фазы.

· Начальная фаза результирующего колебания:

.

· Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:

.

· Полная энергия материальной точки при гармонических колебаниях:

.

· Период колебаний пружинного маятника:

,

где  − жесткость пружины.

· Период колебаний математического маятника:

,

где  − длина маятника.

· Период колебаний физического маятника:

,

где  − момент инерции тела,  − расстояние от оси колебания до центра масс маятника.

· Частота малых колебаний материальной точки массы  около положения равновесия  в потенциальном поле :
,

где  − коэффициент квазиупругой силы.

· Уравнение затухающих колебаний:

.

· Угловая частота затухающих колебаний:

.

· Логарифмический декремент затухания:

.

· Добротность контура:

.

 

Задачи

1 Начальная фаза синусоидального гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

2 Уравнение колебаний материальной точки массой 10 г имеет вид см. найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

3 Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению?

4 В результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и одинаковыми периодами получается результирующее колебание с тем же периодом и той же амплитудой. Найти разность фаз складываемых колебаний.

5 Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за 1 минуту амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника 1 м.

6 Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?

7 Частица совершает гармонические косинусоидальные колебания вдоль оси  около положения равновесия . Частота колебаний =4 рад/с. В некоторый момент координата частицы =25 см, а ее скорость =100 см/с. Найти координату и скорость частицы через 2,4 с после этого момента.

8 Представим себе шахту, пронизывающую Землю по ее оси вращения. Считая Землю за однородный шар ( м) и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: уравнение движения тела, упавшего в шахту; время, которое понадобится этому телу, чтобы достигнуть противоположного конца шахты; скорость тела в центре Земли.

9 Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с амплитудой 10 см. Найти коэффициент трения между доской и бруском, если последний начинает скользить по доске, когда ее период колебаний меньше 1 с.

10 Найти период малых вертикальных колебаний тела массы , подвешенного на двух последовательно соединенных пружинах, жесткости которых равны  и , а их массы пренебрежимо малы.

11 Тело  массы =1 кг и тело  массы =4,1 кг соединены между собой пружиной, как показано на рисунке 1. Тело  совершает свободные вертикальные гармонические колебания с амплитудой 1,6 см и частотой =25 рад/с. Пренебрегая массой пружины, найти наибольшее и наименьшее значение силы давления этой системы на опорную плоскость.

12 Частица массы  находится в одномерном потенциальном поле, где потенциальная энергия зависит от координаты  как ,  и  − некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

13 Частица массы  находится в одномерном потенциальном поле, где потенциальная энергия зависит от координаты  как ,  и  − некоторые положительные постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

14 Частица массы  находится в одномерном потенциальном поле, где потенциальная энергия зависит от координаты  как ,  и  − некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

15 Шарик с массой  и зарядом  находится внутри непроводящей трубки между двумя неподвижными заряженными шариками (рисунок 2). Найти период малых колебаний шарика около положения равновесия, если заряды неподвижных шариков равны , а расстояние между их центрами .

16 Вычислить период малых колебаний ареометра (рисунок 3), которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра , радиус его трубки , плотность жидкости . Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.

17 Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рисунке 4. Известны радиус блока , его момент инерции относительно оси вращения , масса тела  и жесткость пружины . Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.

18 Найти период малых вертикальных колебаний шарика массы , укрепленного на середине горизонтально натянутой струны длины . Натяжение струны считать постоянным и равным .

19 Однородный диск радиуса  может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через край диска. Найти период малых колебаний этого диска, если логарифмический декремент затухания .

20 Шарик массы , подвешенный на пружине, удлиняет ее на величину . Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по гармоническому закону с амплитудой , шарик совершает вынужденные колебания. Логарифмический декремент затухания равен . Пренебрегая массой пружинки, найти круговую частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда смещения шарика максимальна. Каково значение этой амплитуды?

21 Некоторая точка совершает затухающие колебания с частотой . Найти коэффициент затухания , если в начальный момент скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в  раза меньше амплитуды в этот момент.

22 Найти добротность математического маятника длины , если за промежуток времени  его полная механическая энергия уменьшилась в  раз.

23 Найти добротность осциллятора, у которого амплитуда смещения уменьшается в  раза через каждые  колебаний.

24 Частицу сместили из положения равновесия на расстояние  и предоставили самой себе. Какой путь пройдет, колеблясь, эта частица до полной остановки, если логарифмический декремент затухания ?

 

Ответы

 

1. T/6. 2. Н; Дж. 3. Уменьшится в 2 раза. 4. . 5. 0,023. 6. 1,22. 7. –29 см; -81 см/с. 8. 42 мин; 7,2 км/час. 9. 0,4. 10. . 11. 60 Н; 40 Н. 12.  13.  14.  15.  16.  17.  18.  19.  20. ,  21. . 22.  23.  24. .