Критерий устойчивости автоколебаний Попова

Для нелинейных систем понятие абсолютной устойчивости: характер ее поведения не изменяется от величины отклонение от положения равновесия(или величины входного воздействия).

Сможем утверждать от устойчивости при малых и больших отклонениях.

Нелинейность отделены от линейной части.

Вход роли не играет. Нелинейность любая (м.б. несимм., но заключена в секторе от 0 до к)

Два варианта критерия

1) Линейная часть W(S) устойчива

Теорема В.Н. Попова:

Положение равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью w(s) и нелинейной характеристикой, заключенной в секторе [0,k], будет абсолютно устойчивым если существует такое действительное число α, при которой для всех ω≥0 выполняется неравенство:

Комментарий:

Для однозначных нелинейностей число α м.б. любым:

Теорема дает достаточное условие устойчивости т.е. даже если условие не выполняется есть шанс, что система м.б. 22.2) устойчивой. А если выполняется, то система всегда устойчива.

Существует геометрическая интерпретация теоремы(более удобная на практике) нужно ввести понятие модифицированной частотной характеристики:

Мнимая часть стала четной, как и действительная часть.

Годограф должен лежать ниже прямой

2) W(S) – неустойчива

Сектор [0,k] не может рассматриваться т.к. при малых k замкнутая система не может 22.3) стать устойчивой(корни в кг не переходят в левую часть при малых k)

Нужно найти k₀ при котором система может стать устойчивой

Переходим к сектору [k₀,k_m]

K₀- минимальное значение обеспечивающее устойчивость замкнутой системы