Дифференц-е ур-я движ-я идеальной жидкости (ДУ)

Гидродинамика – раздел гидравлики, изучающий движ-е ж под действием внешних поверхностных и массовых сил, а также механ-е взаимод-е жидкости и твердых тел при их относит-ом движ-ии.

Под идеальной понимают несжимаемую и лишенную вязкости жидкость. В ней не возникают силы вязкого трения и связанные с ними потери энергии. Для вывода уравнений движ-я идеал-ой ж воспольз-ся принципом Д’аламбера, к-й позволяет получить ур-е динамики из уравнений статики =ρX, =ρY, =ρZ, p- давление, ρ- плотность, x,y,z- проекции единичной массовой силы на соответствующие оси координат.Предст-им эти ур-я в виде: X =0, Y =0, Z =0 (1).

 Согласно принципу Д’аламбера уравнения движ-я м.б получены из уравнений равновесия (1), если в каждой из них включить соответствующую проекцию единичной силы инерции, взятую с отриц-ым знаком. Единичная сила инерции имеет физич-й смысл ускорения жидкой частицы. J_ин=δF_ин/δm=dV/dT={dV_x/dt, dV_y/dt, dV_z/dt} (2)

Ускорение жид частицы – это вектор, d_m- масса жид-й частицы. Добавив в ур-е (1) проекции единичной силы инерции (2) получим: X =0, тоже с y, z. (3)

Необходимо найти производные dV_x/dt, dV_y/dt, dV_z/dt. Величину V=V(x,y,z,t) можно интерпритировать как скорость жид частицы на линии тока. Рис.

Проекции скорости зависят от координат жид частицы на линии тока и времени. V_x=V_x(x,y,z,t), V_y=V_y(x,y,z,t), V_z=V_z(x,y,z,t), где t – время – независимое, переменное, x=x(t), y=y(t),z=z(t) зависимые переменные. Найдем производные, для этого воспольз-ся правилом дифференцирования сложной функции.

= + +

= + +     (4)

= + +

Будем рассматривать установившееся движ-е жид-ти. Вспомним условие стационарности: dV_x/dt=0, dV_y/dt=0, dV_z/dt=0 (5), =V_x, =V_y, =V_z (6). (5), (6) - - (4) - - (3);

X + + )=0

Y + + )=0 (7)

Z + + )=0

Ур-е (7)- это ДУ установившегося движения идеальной ж под действием единичной массовой силы с проекциями Х,Y,Z. Эти ур-я были вперве получены Леонардом Эйлером и носят его имя - это ур-я движ-я Эйлера.

Интеграл Бернулли

Путем преобразования уранений движения находят величины, облад-е св-ом сохранять свои значения во время движ-я ж. Эти величины наз-ся интегралами движ-я – они выражают з-ны сохранения, их много. Важнейшим из них являя-ся з-н сохранения энергии. Интеграл Бернулли выражает з-н сохранения мех-ой энергии при установившемся движении идеальной ж вдоль линии тока. Пометим, преобраз-я урав-ий движ-я начнем с того, что умножим первое из них на dx.

(8) Хdx- + + )dx=0, V_xdV_x=  (9), (9) - -(8): Xdx =0, Ydy =0, Zdz =0,

Сложив почленно эти уранения получим:

 (10): Xdx+Ydy+Zdz- =0

Рассмотрим случай движенияж в поле сил тяжести. X=0, Y=0, Z=-g - - (10)

-gdz =0; dz =0; d(z )=0, (z )=const вдоль линии тока (11). Выр-е (11) явл-ся интегралом Даниила Бернулли. Т. Бернулли: сумма z  для одной и той же линии тока есть вел-на постоянная. Рис.