Понятие о классической статистике. Математическая вероятность, законы сложения и умножения вероятностей. Функция распределения. Среднее значение

Поведение систем, состоящих из очень большого числа частиц, подчиняется определённым закономерностям, которые могут быть описаны на языке теории вероятностей – одного из разделов математики. Введём некоторые необходимые понятия.

Случайное явление – это явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Случайной называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств.

Существуют такие задачи, где исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть их все. Однако если обратиться к совокупности большого числа явлений, то средние результаты обнаруживают устойчивые закономерности, свойственные именно массовым случайным явлениям. Примерами такого рода законов могут служить распределения молекул по скоростям (закон Максвелла) и по компонентам скоростей (описывается функцией Гаусса).

Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений, например, число молекул в выделенном объеме газа, энергия электрона в атоме, число зерен в колосьях. Непрерывная случайная величина принимает любые значения внутри некоторого интервала: координата или импульс материальной точки, температура газа.

Пусть имеется макросистема, то есть система, состоящая из большого числа микрочастиц. Пусть какая-либо случайная дискретная величина х может принимать значения х ₁, х ₂, х ₃,…. Произведем N измерений величины х, приводя систему каждый раз перед измерением в одно и то же состояние. Вместо того, чтобы производить N измерений над одной системой, можно взять N одинаковых систем и измерять величину х один раз в каждой системе. Статистический ансамбль – это набор одинаковых систем, находящихся в одинаковом состоянии. Пусть при измерениях х значение х ₁ получено в N ₁ измерениях, значение х ₂ – в N ₂ измерениях и т.д. Очевидно,

. (6.25)

Вероятность p _i (или р (х _i)) появления результата х _i – это предел частоты появления i -того результата:

, (6.26)

причем из (6.25) следует условие нормировки (6.27):

. (6.27)

Среднее арифметическое значение дискретной случайной величины равно

(6.28)

и при большом числе измерений (N→∞) из определения вероятности (6.26):

. (6.29)

Из определения вероятности следует, что 0≤ р ≤1, причем р =0 для невозможного события и р =1 для достоверного события.

Два события несовместны, если их одновременное осуществление невозможно (например, выпадение 1 и 3 при однократном бросании игральной кости). Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления второго. Математическая вероятность подчиняется определенным закономерностям.

Закон сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей. То есть, вероятность р (х _i или х _j) получить результат х _i или х _j равна сумме их вероятностей:

р (х _i или х _j)= р (х _i)+ р (х _j). (6.30)

Например, вероятность выпадения четного числа при однократном бросании игральной кости р (2 или 4 или 6)= р (2)+ р (4)+ р (6)=1/6+1/6+1/6=1/2.

Закон умножения вероятностей: вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей.

р (х _i и х _j)= р (х _i) р (х _j). (6.31)

Например, при бросании двух игральных костей вероятность получить сумму чисел на гранях, равную 12, равна р (6 и 6)= .

Функция распределения в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей. В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение.