Рассмотрим n- канальную СМО с очередью, максимальная длина которой равна m. Время ожидания в очереди – не ограниченно.
Поток требований на входе в систему простейший с интенсивностью . Поток обслуживания также простейший с интенсивностью . В этом случае система будет марковской вида M/M/n/m и изменения вероятностей состояния могут быть описано с помощью уравнений размножения и гибели вида
Т.к. число состояний СМО конечно, то в ней существует стационарный режим, и выражения для финальных вероятностей могут быть записаны в следующем виде:
= , 1≤k≤n
= * , n≤k≤n+m,
где , найденная из нормирующего условия =1,будет равна
Учитывая, что вторая сумма, как сумма членов геометрической прогрессии равна
, получим окончательно
Основные характеристики СМО в стационарном режиме будут:
1) Вероятность того, что пришедшее требование получит отказ
*
2) Вероятность того, что пришедшее требование будет обслужено.
*
3) Абсолютная пропускная способность системы (среднее число требований, обслуженной за единицу времени)
|
|
A= *
4 ) Вероятность того, что все каналы обслуживания заняты.
=
5) Среднее число занятых каналов.
= mкан
Или, иначе, через абсолютную пропускную способность системы:
= mкан
6) Средняя длина очереди.
7) Среднее число требований в системе можно найти как
8) Среднее время нахождения требования в очереди
* *
9)Общее время нахождения требования в системе будет
Полученные выражения носят общий характер. Положив в них m=0 получим значения и характеристики СМО для систем без ожидания. Положив m=∞, получим выражения для СМО с неограниченным числом мест в очереди.
Пример. Ателье обслуживает жителей 2-х микрорайонов. Интенсивности заявок с обоих микрорайонов равна чел/час. Среднее время выполнения заявки составляет 20 мин. Число работников в ателье (n) – 2 человека. Определить основные характеристики работы ателье, если:
1)Очереди невозможны(m=0).
2)Очереди не ограничены (м=∞).
3) Как изменится эффективность работы, если каждый из работников будет обслуживать клиентов только одного района.
1) Рассмотрим случай, когда очередь отсутствует (m=0)
а) Каждый работник обслуживает жителей любого района. Тогда:
n=2; =4; µ= ; ;
; ;
* = ; * = ;
= = ; =0,724;
A= * =4* =2,9; ;
б) Каждый работник обслуживает жителей только одного района. Тогда:
n=1; =2; µ=3; ;
*
,
A= * =2*3/5=1,2;
Как видим, во втором случае снижается вероятность обслуживания каждого клиента (с 0,724 до 0,6) и общее число обслуживаемых клиентовА=2*1,2=2,4 (меньше чем2,9). Загрузка мастеров так же падает
|
|
(меньше чем 0,96).
2) Рассмотрим случай, когда очередь не ограничена (m=∞)
а) Каждый работник обслуживает жителей любого района. Тогда:
n=2; =4; µ=3; ;
< 1 (стационарный режим существует);
= ;
* 1≤k≤n; ; ;
* k
=
A= * = ;
= =1,07; *
б) Каждый работник обслуживает жителей только одного района. Тогда:
n=1. λ = 2; μ = 3; ρ =
P0 = (1 + ρ)-1 = Pk=Pn· k>n
P1 = ρ*P0 = = , P2 = ρ*P1 = = , P3= = , ……
,
В случае неограниченной очереди (все жители обслужены) при том же среднем числе загруженных каналов увеличивается средняя длина очереди (1.33 в каждом ателье против 1.07 – общая очередь в ателье с 2-мя мастерами). Среднее время ожидания в очереди при этом возросло более чем в 2 раза с 17 мин. до 40 мин.
Как видно, разделение СМО на несколько систем, работающих независимо, с разделением потока заявок приводит к снижению эффективности работы в целом.